Question

मान लीजिए कि s उस त्रिभुज ABC के अर्ध-परिमाप को व्यक्त करता है, जिसमें BC = a, CA = b और AB = c है। यदि एक वृत्त भुजाओं BC, CA और AB को क्रमश : D, E और F पर स्पर्श करता है, तो सिद्ध कीजिए कि BD = s – b है। 

Answer 1

एक त्रिभुज ABC जिसमें BC = a, CA = b और AB = c है।

इसके अलावा, एक वृत्त खुदा हुआ है जो भुजाओं BC, CA और AB को क्रमशः D, E और F पर स्पर्श करता है और s त्रिभुज का अर्ध-परिधि है।

सिद्ध करना है: BD = s – b

सबूत: 

हमारे पास है,

अर्ध-परिधि = s

परिमाप = 2s

2s = AB + BC + AC  ...[1]

जैसा कि हम जानते हैं,

बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं। 

तो हमारे पास

AF = AE  ...[2] [बिंदु A से स्पर्शरेखा]

BF = BD  ...[3] [बिंदु B से स्पर्शरेखा]

CD = CE   ...[4] [बिंदु C से स्पर्शरेखा]

[2] [3] और [4] को जोड़ने पर, 

AF + BF + CD = AE + BD + CE

AB + CD = AC + BD

दोनों पक्षों को BD जोड़ के, 

AB + CD + BD = AC + BD + BD

AB + BC – AC = 2BD

AB + BC + AC – AC – AC = 2BD

2s – 2AC = 2BD  ...[1 से]

2BD = 2s – 2b  ...[चूंकि AC = b]

BD = s – b

अतः सिद्ध हुआ।