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प्रश्न
आयुष अपने घर से कार्यालय की ओर चलना प्रारंभ करता है। सीधे कार्यालय जाने के स्थान पर, पहले वह एक बैंक में जाता है, वहाँ से वह अपनी पुत्री के स्कूल और फिर कार्यालय पहुँचता है। यदि घर (2, 4) पर स्थित है, बैंक (5, 8) पर स्थित है, स्कूल (13, 14) पर स्थित है और कार्यालय (13, 26) पर स्थित है, तथा निर्देशांक किलोमीटर में हैं, तो आयुष ने कार्यालय पहुँचने के लिए कितनी अतिरिक्त दूरी चली है? (कल्पना कीजिए कि सभी तय की गई दूरियाँ सरल रेखाओं में हैं।)
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उत्तर
दी गई शर्त के अनुसार, हमने एक आकृति बनाई है जिसमें हर स्थान को उसके निर्देशांक और दिशा के साथ भी दर्शाया गया है।
हम जानते हैं कि,
दो बिंदुओं के बीच की दूरी `(x_1, "y"_1)` और `(x_2, "y"_2)`,
`"d" = sqrt((x_2 - x_1)^2 + ("y"_2 - "y"_1)^2`
अब, घर और बैंक के बीच की दूरी = `sqrt((5 - 2)^2 + (8 - 4)^2`
= `sqrt((3)^2 + (4)^2`
= `sqrt(9 + 16)`
= `sqrt(25)`
= 5
बैंक और बेटी के स्कूल के बीच की दूरी = `sqrt((13 - 5)^2 + (14 - 8)^2`
= `sqrt((8)^2 + (6)^2`
= `sqrt(64 + 36)`
= `sqrt(100)`
= 10
बेटी के स्कूल और कार्यालय के बीच की दूरी = `sqrt((13 - 13)^2 + (26 - 14)^2`
= `sqrt(0 + (12)^2`
= 12
कुल दूरी (घर + बैंक + स्कूल + कार्यालय) तय की = 5 + 10 + 2 = 27 units
घर से कार्यालय की दूरी = `sqrt((13 - 2)^2 + (26 + 4)^2`
= `sqrt((11)^2 + (22)^2`
= `sqrt(121 + 484)`
= `sqrt(605)`
= 24.59
= 24.6 किलोमीटर
इसलिए, आयुष द्वारा अपने कार्यालय तक पहुँचने में तय की गई अतिरिक्त दूरी = 27 – 24.6 = 2.4 किलोमीटर
इसलिए, आयुष द्वारा तय की गई आवश्यक अतिरिक्त दूरी 2.4 किमी है।
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मान लीजिए A (4, 2), B (6, 5) और C (1, 4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं।
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(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिंदुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो।
(iv) आप क्या देखते हैं?
(v) यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केंद्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
A(x1, y1), B(x2, y2) और C(x3, y3) एक ΔABC के शीर्ष हैं। माध्यिकाओं BE और CF पर स्थित क्रमश : ऐसे बिंदुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : QE = 2 : 1 और CR : RF = 2 : 1 हो।
यदि किसी बिंदु का y निर्देशांक शून्य है, तो वह बिंदु सदैव स्थित है :
बिंदुओं O(0, 0), A(3, 0), B(3, 4), C(0, 4) को आलेखित करके तथा OA, AB, BC और CO को मिलाने पर, निम्नलिखित में से कौन-सी आकृति प्राप्त होगी?
निम्नलिखित आकृति में, P के निर्देशांक हैं :
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