Question

एका अंकगणिती श्रेढीचे पहिले पद - 5 आणि शेवटचे पद 45 आहे. जर त्या सर्व पदांची बेरीज 120 असेल, तर ती किती पदे असतील आणि त्यांचा सामाईक फरक किती असेल?

Answer 1

या अंकगणिती श्रेढीतील पदांची संख्या 'n' मानू.

तर, t₁ = a = - 5, t_n = 45, S_n = 120

`"S"_"n" = "n"/2 ("t"_1 + "t"_"n")`

∴ `120 = "n"/2`(- 5 + 45)

∴ `120 = "n"/2 xx 40`

∴ 120 = 20n

∴ n = `120/20` = 6

∴ आता, t_n = a + (n – 1)d

∴ 45 = - 5 + (6 - 1)d

∴ 45 + 5 = 5d

∴ 50 = 5d 

∴ d = `50/5 = 10`

∴ या अंकगणिती श्रेढीत 6 पदे असून दोन क्रमागत पदांमधील सामाईक फरक 10 आहे.

Answer 2

समजा, अंकगणिती श्रेढीतील पदांची संख्या n आणि त्यांच्यातील सामाईक फरक 'd' आहे.

तर, a = -5, t_n = 45, S_n = 120

आता, t_n = a + (n – 1)d

∴ 45 = - 5 + (n – 1)d

∴ 45 +5 = (n – 1)d

∴ (n - 1)d = 50 ...(i)

`"S"_"n" = "n"/2` [2a + (n - 1)d]

∴ 120 = `"n"/2` [2(-5) + (n - 1)d]

∴ 120 = `"n"/2` (- 10 + 50)    ....[(i) वरून]

∴ 120 = `"n"/2 xx 40`

∴ 120 = 20n

∴ n = `120/20` = 6

n = 6 ही किंमत समीकरण (i) मध्ये ठेवून,

(n – 1)d = 50

∴ (6 - 1)d = 50

∴ 5d = 50

∴ d = `50/5` = 10

∴ या अंकगणिती श्रेढीतील पदांची संख्या 6 व सामाईक फरक 10 आहे.