SSC (Marathi Medium) १० वीं कक्षा - Maharashtra State Board Question Bank Solutions

पुढील प्रत्येक उपप्रश्नासाठी 4 पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक उत्तराचा योग्य पर्याय निवडून त्याचे वर्णाक्षर लिहा.

एका चौरसाच्या कर्णाची लांबी `sqrt2` सेमी असेल, तर त्या चौरसाच्या प्रत्येक बाजूची लांबी किती?

पुढील प्रत्येक उपप्रश्नासाठी 4 पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक उत्तराचा योग्य पर्याय निवडून त्याचे वर्णाक्षर लिहा.

एका आयताची एक बाजू 12 आणि कर्णाची लांबी 20 असेल, तर त्या आयताच्या दुसऱ्या बाजूची लांबी किती? 

पुढील प्रत्येक उपप्रश्नासाठी 4 पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक उत्तराचा योग्य पर्याय निवडून त्याचे वर्णाक्षर लिहा.

एका समभुज चौकोनाच्या कर्णाची लांबी अनुक्रमे 60 व 80 असेल, तर त्या समभुज चौकोनाच्या बाजूची लांबी किती?

एका काटकोन त्रिकोणामध्ये काटकोन करणाऱ्या बाजू 24 सेमी व 18 सेमी असतील, तर त्याच्या कर्णाची लांबी काढा.

एका काटकोन त्रिकोणामध्ये कर्णाची लांबी 25 सेमी व उंची 7 सेमी असेल, तर त्याच्या पायाची लांबी काढा.

एका आयताच्या बाजू अनुक्रमे 35 मीटर आणि 12 मीटर असल्यास त्याचा कर्ण किती?

सोबतच्या आकृतीत, ∆ABC मध्ये, AD ⊥ BC, तर AB² + CD² = BD² + AC² हे सिद्ध करण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

कृती: पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार, काटकोन त्रिकोण ∆ADC मध्ये, 

AC² = AD² + `square^2`

∴ AD² = AC² – CD² …...........(i) 

तसेच, पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार, काटकोन त्रिकोण ∆ABD मध्ये,

AB² = `square^2` + BD² 

∴ AD² = AB² – BD² …...… (ii)

∴ `square^2 - "BD"^2 = "AC"^2 - square^2` .....…….. (i) व (ii) वरून

∴ AB² + CD² = AC² + BD²

10 मीटर लांबीची एक शिडी जमिनीपासून 8 मीटर उंचीच्या एका खिडकीपाशी पोहोचते, तर त्या भिंतीचा पाया व शिडीचे खालचे टोक यांमधील अंतर काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

कृती: समजा, सोबतच्या आकृतीत,

PQ ही भिंतीची उंची आहे.

PR ही शिडी आहे आणि QR त्या भिंतीचा पाया व शिडीचे खालचे टोक यांमधील अंतर आहे.

∆PQR मध्ये, ∠PQR = 90°,

पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार, PQ² + `square` = PR² … (i)

PR = 10, PQ = `square`

या किमती (i) मध्ये ठेवून,

QR² + 8² = 10²

QR² = 10² – 8²

QR² = `square - 64`

QR² = `square`

QR = 6

यावरून, त्या भिंतीचा पाया व शिडीचे खालचे टोक यांमधील अंतर 6 मीटर आहे.

काटकोन त्रिकोणात काटकोन करणाऱ्या बाजू 9 सेमी व 12 सेमी आहेत, तर त्या त्रिकोणाच्या कर्णाची लांबी माहीत करण्यासाठी कृती पूर्ण करा. 

कृती: ∆PQR मध्ये, ∠PQR = 90°

पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,

PQ² + `square` = PR² .........…(i)

PR² = 9² + 12²

PR² = `square + 144`

∴ PR² = `square`

∴ PR = 15

त्रिकोणाचा कर्ण = `square` 

सोबतच्या आकृतीत, ∆QPR मध्ये, ∠QPR = 90°, PM ⊥ QR, PM = 10, QM = 8 यावरून QR काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा. 

कृती: 

∆PQR मध्ये, PM ⊥ QR

∠PMQ = 90°,

∆PMQ मध्ये, पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,

PM² + `square` = PQ² …(i)

∴ PQ² = 10² + 8²

∴ PQ² = `square` + 64

PQ = `sqrt164`

∠PMR = 90°

यावरून, ∆QPR ~ ∆QMP ~ ∆PMR

∴ ∆QMP ~ ∆PMR

∴ `"PM"/"RM" =  "QM"/"PM"`

∴ PM² = RM × QM

∴ 10² = RM × 8

RM = `100/8 = square` आणि QR = QM + MR

QR = `square + 25/2 = 41/2`

एका आयताचे क्षेत्रफळ 192 चौसेमी असून त्याची लांबी 16 सेमी आहे, तर त्या आयताच्या कर्णाची लांबी माहीत करण्यासाठी कृती पूर्ण करा.

कृती: सोबतच्या आकृतीत, `square`LMNT हा आयत आहे.

आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी

∴ आयताचे क्षेत्रफळ = `square` × रुंदी

रुंदी = 12 सेमी

∠TLM = 90° [आयताचा प्रत्येक कोन काटकोन असतो.]

∆TLM मध्ये, पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,

TL² + `square` = TM²

TM² = `square` + 12²

TM² = `square` + 144

TM = 20

∆LMN मध्ये, l = 5, m = 13, n = 12, तर ∆LMN हा काटकोन त्रिकोण आहे किंवा नाही ते ठरवण्यासाठी कृती करा.  [l, m, n या ∠L, ∠M, व ∠N यांच्या समोरील बाजू आहेत.]

कृती: ∆LMN मध्ये, l = 5, m = 13, n = `square`

l² = `square`, m² = 169; n² = 144.

l² + n² = 25 + 144 = `square`

`square^2` + l² = m²

∴ पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार, ∆LMN हा काटकोन त्रिकोण आहे.

सोबतच्या आकृतीत, ∠DFE = 90°, FG ⊥ ED, जर GD = 8, FG = 12, lej (1) EG, (2) FD आणि (3) EF काढा.

समद्विभुज काटकोन त्रिकोणाच्या एकरूप बाजूंची लांबी 7 सेमी आहे. त्याची परिमिती काढा.

A केंद्र असलेल्या वर्तुळाला रेख DP आणि रेख DQ हे स्पर्शिकाखंड आहेत, जर DP = 7 सेमी, तर रेख DQ ची लांबी काढा? 

आकृतीमध्ये, बिंदू O वर्तुळकेंद्र आणि रेख AB व रेख AC हे सपर्शिकाखंड आहेत. जर वर्तुळाची त्रिज्या r असेल आणि l(AB) = r असेल, तर `square`ABOC हा चौरस होतो हे दाखवण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

सिद्धता:

रेख OB आणि OC काढा. 

l(AB) = r ..........…[पक्ष] (i)

AB = AC ..............`square` (ii)

परंतु, OB = OC = r .............`square` (iii)

∴ (i), (ii) व (iii) वरून

AB = `square` = OB = OC = r

∴ `square`ABOC हा `square` चौकोन आहे.

तसेच, ∠OBA = `square` .........[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]

एक कोन काटकोन असणारा `square` चौकोन चौरस होतो.

∴ `square`ABOC हा चौरस आहे.

O केंद्र असलेल्या वर्तुळाचा रेख PQ हा व्यास आहे. बिंदू C मधून काढलेली स्पर्शिका वर्तुळास बिंदू P आणि Q बिंदूंतून काढलेल्या स्पर्शिकांना अनुक्रमे A आणि B बिंदूत छेदतात, तर सिद्ध करा, की ∠AOB = 90°

आकृतीमध्ये, ΔABC हा समद्विभुज त्रिकोण असून त्याची परिमिती 44 सेमी आहे. बाजू AB आणि बाजू BC एकरूप असून पाया AC ची लांबी 12 सेमी आहे. आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे एक वर्तुळ तिन्ही बाजूंना स्पर्श करते, तर बिंदू B पासून वर्तुळास काढलेल्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी काढा.

पक्ष: काटकोन ΔABC मध्ये एक वर्तुळ अंतर्लिखित केलेले आहे, ∠ACB = 90°. वर्तुळाची त्रिज्या r आहे.

साध्य: 2r = a + b – c 

दोन असमान (भिन्न) त्रिज्यांच्या वर्तुळांमध्ये जर AB आणि CD त्यांच्या सामाईक स्पर्शिका असतील, तर रेख AB ≅ रेख CD दाखवा.