Theorems and Laws [8]
त्रिकोणाच्या एका बाजूला समांतर असणारी रेषा त्याच्या उरलेल्या बाजूंना भिन्न बिंदूत छेदत असेल, तर ती रेषा त्या बाजूंना एकाच प्रमाणात विभागते. सिद्धता पूर्ण करा.
पक्ष: ∆ABC मध्ये रेषा l || बाजू BC आणि रेषा l ही बाजू AB ला P मध्ये व बाजू AC ला Q मध्ये छेदते.
साध्य: `"AP"/"PB" = "AQ"/"QC"`
रचना: रेख CP व रेख BQ काढा.
सिद्धता:
∆APQ व ∆PQB हे समान उंचीचे त्रिकोण आहेत.
`("A"(Delta"APQ"))/("A"(Delta"PQB")` = `square/"PB"` ..........[क्षेत्रफळे पायांच्या प्रमाणात] (i)
`("A"(Delta"APQ"))/("A"(Delta"PQC")` = `square/"QC"` ..........[क्षेत्रफळे पायांच्या प्रमाणात] (ii)
∆PQC व ∆PQB यांचा रेख `square` हा समान पाया आहे.
रेख PQ || रेख BC म्हणून: ∆∆APQ व ∆PQB यांची उंची समान आहे.
A(∆PQC) = A(∆ `square`) ........….(iii)
`("A"(Delta"APQ"))/("A"(Delta"PQB")` = `("A"(∆ square))/("A"(∆ square))` ..............[(i), (ii) व (iii]
`"AP"/"PB" = "AQ"/"QC"` ......….[(i) व (ii) वरून]
सिद्धता:
∆APQ व ∆PQB हे समान उंचीचे त्रिकोण आहेत.
`("A"(Delta"APQ"))/("A"(Delta"PQB")` = `underline("AP")/"PB"` ..........[क्षेत्रफळे पायांच्या प्रमाणात] (i)
`("A"(Delta"APQ"))/("A"(Delta"PQC")` = `underline("AQ")/"QC"` ..........[क्षेत्रफळे पायांच्या प्रमाणात] (ii)
∆PQC व ∆PQB यांचा रेख PQ हा समान पाया आहे.
रेख PQ || रेख BC म्हणून: ∆APQ व ∆PQB यांची उंची समान आहे.
A(∆PQC) = A(∆PQB) ........….(iii)
`("A"(Delta"APQ"))/("A"(Delta"PQB")` = `("A"(underline(∆"APQ")))/("A"(underline(∆"PQC")))` ..............[(i), (ii) व (iii]
`"AP"/"PB" = "AQ"/"QC"` ......….[(i) व (ii) वरून]
"त्रिकोणाच्या एका बाजूला समांतर असणारी रेषा त्याच्या उरलेल्या बाजूंना भिन्न बिंदूत छेदत असेल, तर ती रेषा त्या बाजूंना एकाच प्रमाणात विभागते.” हे सिद्ध करा.
पक्ष: ΔABC मध्ये रेषा l || रेख BC आणि रेषा l ही बाजू AB ला P मध्ये व बाजू AC ला Q मध्ये छेदते.
साध्य: `"AP"/"PB" = "AQ"/"QC"`
रचना: रेख PC व रेख BQ काढा.
सिद्धता: ΔAPQ आणि ΔBPQ यांचा Q हा सामाईक शिरोबिंदू आहे आणि त्यांचे AP व BP हे पाया AB या एकाच रेषेवर आहेत. त्यामुळे हे समान उंचीचे त्रिकोण आहेत.
`therefore ("A"(Delta "APQ"))/("A"(Delta "BPQ")) = "AP"/"PB"` ...(i) [समान उंचीचे त्रिकोण]
तसेच, ΔAPQ आणि ΔCPQ यांचा P हा सामाईक शिरोबिंदू आहे आणि त्यांचे AQ व QC हे पाया AC या एकाच रेषेवर आहेत. त्यामुळे हे समान उंचीचे त्रिकोण आहेत.
∴ `("A"(Delta "APQ"))/("A"(Delta "CPQ")) = "AQ"/"QC"` ...(ii) [समान उंचीचे त्रिकोण]
ΔBPQ व ΔCPQ यांचा रेख PQ हा समान पाया आहे.
ΔBPQ आणि ΔCPQ हे PQ व BC ह्या दोन समांतर रेषांमध्ये बद्ध आहेत.
∴ ΔBPQ व ΔCPQ ची उंची समान आहे.
∴ A(ΔBPQ) = A(ΔCPQ) ...(iii) [समान उंची व समान पाया असलेल्या त्रिकोणांची क्षेत्रफळे समान असतात.]
∴`("A"(Delta "APQ"))/("A"(Delta "BPQ")) = ("A"(Delta "APQ"))/("A"(Delta "CPQ"))` ...(iv) [(i), (ii) आणि (iii) वरून]
∴ `"AP"/"PB" = "AQ"/"QC"` ...[(i), (ii) व (iv) वरून]
आकृतीमध्ये त्रिकोण ABC मध्ये बाजू BC वर D हा बिंदू असा आहे, की ∠BAC = ∠ADC. तर सिद्ध करा, की CA2 = CB × CD.
∆BAC व ∆ADC मध्ये,
∠BAC ≅ ∠ADC ...............[पक्ष]
∠BCA ≅ ∠ACD ..............[सामाईक कोन]
∴ ∆BAC ∼ ∆ADC ............[समरूपतेची कोको कसोटी]
∴ `"CA"/"CD" = "CB"/"CA"` ..........[समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू]
∴ CA × CA = CB × CD
∴ CA2 = CB × CD
चौकोन ABCD मध्ये बाजू AD || BC, कर्ण AC आणि BD परस्परांना P बिंदूत छेदतात, तर सिद्ध करा, की `"AP"/"PD" = "PC"/"BP".`
रेख AD || रेख BC व
BD ही त्यांची छेदिका आहे. .......[पक्ष]
∴ ∠DBC ≅ ∠BDA .............[व्युत्क्रम कोन]
∴ ∠PBC ≅ ∠PDA …(i)[D−P−B]
∆PBC व ∆PDA मध्ये,
∠PBC ≅ ∠PDA ... [(i) वरून]
∠BPC ≅ ∠DPA ..........[विरुद्ध कोन]
∴ ∆PBC ∼ ∆PDA ...............[समरूपतेची कोको कसोटी]
∴ `"BP"/"PD" = "PC"/"AP"` .............[समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू]
∴ `"AP"/"PD" = "PC"/"BP"` .............[एकांतर क्रिया]
□ABCD हा समांतरभुज चौकोन आहे. ...[पक्ष]
∴ बाजू AB || बाजू CD ...[समांतरभुज चौकोनाच्या संमुख बाजू]
∴ बाजू AB || बाजू CP ...[C - P - D]
व BP ही त्यांची छेदिका आहे.
∴ ∠CPB ≅ ∠ABP ...[व्युत्क्रम कोन]
∴ ∠CPX ≅ ∠ABX ...(i)[P - X - B]
ΔPXC व ΔBXA मध्ये,
∠PXC ≅ ∠BXA ...[परस्पर विरुद्ध कोन]
∠CPX ≅ ∠ABX ...[(i) वरून]
∴ ΔPXC ∼ ΔBXA ...[कोको कसोटीनुसार]
∴ `(CX)/(AX) = (XP)/(XB) = (AB)/(CP)` ...(ii)[समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू]
लक्षात घ्या,
रेख AB ≅ रेख CD ...(iii) [∵ □ ABCD हा समांतरभुज चौकोन आहे.]
रेख CP = `1/2` रेख CD ...(iv) [P हा बाजू CD चा मध्यबिंदू आहे.]
∴ रेख CP = `1/2` रेख AB ...(v) [(iii) व (iv)]
∴ `(CX)/(AX) = (XP)/(XB) = (AP)/(CB) = 2/1` ...[(ii) व (v) वरून]
∴ `(CX)/(AX) = 2/1`
∴ `(CX + AX)/(AX) = (2 + 1)/2` ...[योग क्रियेने]
∴ `(AC)/(AX) = 3/2`
∴ 3AX = 2AC हे सिद्ध होते.
वरील आकृतीत रेख AC आणि रेख BD परस्परांना P बिंदूत छेदतात. जर `"AP"/"CP" = "BP"/"DP"` तर ΔABP ∼ ΔCDP दाखवण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
कृती: ΔABP व ΔCDP मध्ये
`"AP"/"CP" = "BP"/"DP" ....square`
∠APB ≅ `square` ...... विरुद्ध कोन
∴ `square` ∼ ΔCDP ....... समरूपतेची `square` कसोटी.
ΔABP व ΔCDP मध्ये,
`"AP"/"CP" = "BP"/"DP"` .........[पक्ष]
∠APB ≅ ∠CPD ..........[विरुद्ध कोन]
∴ ΔABP ∼ ΔCDP ..........[समरूपतेची बाकोबा कसोटी]
दोन समरूप त्रिकोणांची क्षेत्रफळे समान असल्यास ते त्रिकोण एकरूप असतात. सिद्ध करा.
पक्ष: ∆ABC ~ ∆PQR आणि A(∆ABC) = A(∆PQR)
साध्य: ∆ABC ≅ ∆PQR
सिद्धता:
`("A"(Delta"ABC"))/("A"(Delta"PQR")) = 1` ....(i) [पक्ष]
तसेच, `("A"(Delta"ABC"))/("A"(Delta"PQR")) = "AB"^2/"PQ"^2 = "BC"^2/"QR"^2 = "AC"^2/"PR"^2` ...........[समरूप त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांचे प्रमेय]
∴ 1 = `"AB"^2/"PQ"^2 = "BC"^2/"QR"^2 = "AC"^2/"PR"^2` ..........[(i) वरून]
∴ 1 = `"AB"^2/"PQ"^2`
∴ AB2 = PQ2
∴ AB = PQ ............[दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन]
म्हणजेच, रेख AB ≅ रेख PQ
त्याचप्रमाणे, रेख BC ≅ रेख QR आणि रेख AC ≅ रेख PR
∴ ∆ABC ≅ ∆PQR .........[एकरूपतेची बाबाबा कसोटी]
ΔABC मध्ये रेख DE || बाजू BC. जर 2A(ΔADE) = A(⬜ DBCE), तर AB : AD आणि BC = `sqrt3` DE दाखवा.
पक्ष: ΔABC मध्ये,
रेख DE || बाजू BC
2A(ΔADE) = A(⬜ DBCE)
साध्य:
- AB : AD
- BC = `sqrt3` DE
सिद्धता:
1. A(ΔABC) = A(ΔADE) + A(⬜ DBCE)
= A(ΔADE) + 2A(ΔADE) ...(पक्ष)
2. A(ΔABC) = 3A(ΔADE)
3. `("A"(Delta "ABC"))/("A"(Delta "ADE")) = 3/1`
ΔABC व ΔADE मध्ये,
∠A ≅ ∠A ...(सामाईक कोन)
∠ABC ≅ ∠ADE ...[संगत कोन (DE || BC)]
4. ΔABC ∼ ΔADE ...(को-को कसोटी)
5. `("A"(Delta "ABC"))/("A"(Delta "ADE")) = "AB"^2/"AD"^2` ...(समरूप त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळाचा प्रमेय)
6. `3/1 = "AB"^2/"AD"^2`
`sqrt3/1 = "AB"/"AD"`
AB : AD = `sqrt3` : 1
7. ΔABC ∼ ΔADE ...(विधान (4) वरून)
`"AB"/"AD" = "BC"/"DE"` ...(समरूप त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांचे प्रमेय)
`sqrt3/1 = "BC"/"DE"` ...[(4) वरून]
∴ BC = `sqrt3` DE
Important Questions [19]
- ∆ABC मध्ये, B-D-C आणि BD = 7, BC = 20, तर खालील गुणोत्तर काढा. A(∆ABD)A(∆ABC)
- "त्रिकोणाच्या एका बाजूला समांतर असणारी रेषा त्याच्या उरलेल्या बाजूंना भिन्न बिंदूत छेदत असेल, तर ती रेषा त्या बाजूंना एकाच प्रमाणात विभागते.” हे सिद्ध करा.
- Δ LMN मध्ये किरण MT हा ∠LMN चा दुभाजक आहे. जर LM = 6, MN = 10, TN = 8 तर LT काढा.
- ΔABC मध्ये, किरण BD हा ∠ABC चा दुभाजक आहे. A - D - C, रेख DE || बाजू BC, A - E - B, तर ABBCAEEBABBC=AEEB हे सिद्ध करण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा: सिद्धता: ΔABC मध्ये, किरण BD हा ∠B चा दुभाजक आहे.
- ΔPQR मध्ये रेख PM ही मध्यगा आहे. ∠PMQ व ∠PMR चे दुभाजक बाजू PQ व बाजू PR ला अनुक्रमे X आणि Y बिंदूत छेदतात. तर XY || QR सिद्ध करण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा. उकल:
- समलंब चौकोन ABCD मध्ये, बाजू AB || बाजू PQ || बाजू DC, जर AP = 15, PD = 12, QC = 14 तर BQ काढा.
- जर ΔABC व ΔPQR मध्ये एका एकास एक संगतीत ABQR=BCPR=CAPQ तर खालीलपैकी सत्य विधान कोणते?
- वरील आकृतीत रेख AC आणि रेख BD परस्परांना P बिंदूत छेदतात. जर APCPBPDPAPCP=BPDP तर ΔABP ∼ ΔCDP दाखवण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा. कृती: ΔABP व ΔCDP मध्ये APCPBPDPAPCP=BPDP ....□ ∠APB ≅ □
- समलंब चौकोन ABCD मध्ये बाजू AB || बाजू CD चौकोनाचे कर्ण हे एकमेकांना बिंदू P मध्ये छेदतात. त्यावरून खालील प्रश्नांची उत्तरे लिहा: वरील दिलेल्या माहितीवरून आकृती काढा.
- □ABCD हा समांतरभुज चौकोन आहे. बिंदू P हा बाजू CD चा मध्यबिंदू आहे. रेख BP कर्ण AC ला बिंदू X मध्ये छेदतो, तर सिद्ध करा: 3AX = 2AC
- वरील आकृतीत, ΔABC मध्ये रेख XY || बाजू AC, जर 2AX = 3BX आणि XY = 9, तर AC ची किंमत काढा.
- जर ΔABC ∼ ΔDEF आणि ∠A = 48°, तर ∠D = ______.
- ΔLMN ~ ΔPQR, 9 × A(ΔPQR) = 16 × A(ΔLMN) जर QR = 20 तर MN काढा.
- दोन समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजूंचे गुणोत्तर 3 : 5 आहे, तर त्यांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर काढा.
- जर ΔABC ∼ ΔPQR, AB : PQ = 4 : 5 आणि A(ΔPQR) = 125 सेमी2 असेल, तर A(ΔABC) काढा.
- ΔABC ∼ ΔPQR, ΔABC मध्ये AB = 5.4 सेमी, BC = 4.2 सेमी, AC = 6.0 सेमी, AB : PQ = 3 : 2, तर ΔABC आणि ΔPQR ची रचना करा.
- जर ΔABC ∼ ΔPQR आणि AABCPQRA(ΔABC)A(ΔPQR)=1625 तर AB : PQ किती?
- ΔABC मध्ये रेख DE || बाजू BC. जर 2A(ΔADE) = A(⬜ DBCE), तर AB : AD आणि BC = 3 DE दाखवा.
- जर ∆ABC ~ ∆PQR आणि AB : PQ = 2 : 3, तर AABCAPQRA(∆ABC)A(∆PQR) ची किंमत काढा.
