Theorems and Laws [1]
नीचे दिए गए बिंदु एकरेखीय हैं या नहीं? इसकी जाँच कीजिए।
P(−2, 3), Q(1, 2), R(4, 1)
P(−2, 3); Q(1, 2); R(4, 1).
दूरी सूत्र से,
d(P, Q) = `sqrt([1 - (-2)]^2 + (2 - 3)^2)`
= `sqrt(3^2 + (-1)^2)`
= `sqrt(9 + 1)`
= `sqrt10` ...(1)
d(Q, R) = `sqrt((4 - 1)^2 + (1 - 2)^2)`
= `sqrt(3^2 + (-1)^2)`
= `sqrt(9 + 1)`
= `sqrt10` ...(2)
d(P, R) = `sqrt([4 - (-2)]^2 + (1 - 3)^2)`
= `sqrt(6^2 + (-2)^2)`
= `sqrt(36 + 4) = sqrt40`
= `sqrt(2 xx 2 xx 2 xx 5)`
= `2sqrt10` ...(3)
(1) और (2) को जोड़ने पर,
d(P, Q) + d(Q, R) = `sqrt10 + sqrt10`
∴ d(P, Q) + d(Q, R) = `2sqrt10`
∴ d(P, Q) + d(Q, R) = d(P, R) ...[(3) से]
∴ बिंदु P, Q तथा R एकरेखीय है।
मानो, P(−2, 3) ≡ (x1, y1); Q(1, 2) ≡ (x2, y2) तथा R(4, 1) ≡ (x3, y3).
रेखा PQ का ढाल = `(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)`
= `(2 - 3)/(1 - (-2))`
= `(-1)/(1 + 2)`
= `-1/3`
रेखा QR का ढाल = `(y_3 - y_2)/(x_3 - x_2)`
= `(1- 2)/(4 - 1)`
= `-1/3`
∴ रेखा PQ का ढाल = रेखा QR का ढाल तथा बिंदु Q सामान्य बिंदु है।
∴ P(−2, 3); Q(1, 2) तथा R(4, 1) एकरेखीय बिंदु हैं।
Important Questions [15]
- मूल बिंदु के निर्देशांक ______ हैं।
- रेख AB यह X-अक्ष के समांतर है तथा बिंदु A का निर्देशांक (1, 3) है, तो बिंदु का निर्देशांक ______ होगा।
- बिन्दु O(0, 0) तथा P(3, 4) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
- नीचे दिए गए बिंदु एकरेखीय हैं या नहीं? इसकी जाँच कीजिए। P(−2, 3), Q(1, 2), R(4, 1)
- सिद्ध कीजिए कि, बिंदु P(1, −2), Q(5, 2), R(3, −1) और S(−1, −5) समांतर चतुर्भुज के शीर्षबिंदु हैं।
- नीचे दिए गए बिंदु एकरेखीय हैं या नहीं? इसकी जाँच कीजिए। A(1, −3), B(2, −5), C(−4, 7)
- यदि बिंदु A(4, –3) तथा B(8, 5) हो, तो रेखाखंड AB को 3 : 1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु P का निर्देशांक ज्ञात करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करो: कृति:
- यदि बिंदु P बिंदुओं A(−1, 7) और B(4, −3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को 2 : 3 अनुपात में विभाजित करता हो तो बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
- बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, यदि बिन्दु P रेखाखंड AB का मध्य बिन्दु है, जिसमें A(-4, 2) व B(6, 2) हो। हल: माना (-4, 2) = (x1, y1) तथा (6, 2) = (x2, y2) और बिन्दु P के निर्देशांक (x, y)
- यदि D(-7, 6), E(8, 5) और F(2, -2) त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदु हों तो उस त्रिभुज के केंद्रक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
- किसी त्रिभुज के शीर्षबिंदुओं के निर्देशांक (4, –3), (7, 5) तथा (–2, 1) हैं, तो केंद्रक का ‘Y’ निर्देशांक ज्ञात करो।
- निम्नलिखित बिंदु एक रेखीय हैं या नहीं? जाँच कीजिए। A(-1, -1), B(0, 1), C(1, 3)
- नीचे दिए गए बिंदुओं से होकर जानेवाली रेखा का ढाल ज्ञात कीजिए। A (2, 3) और B (4, 7)
- किसी रेखा द्वारा X-अक्ष की धन दिशा की ओर निर्मित कोण का माप दिया गया है, इस आधार पर रेखा का ढाल ज्ञात कीजिए। 45°
- X-अक्ष का ढाल = ?
