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प्रश्न
यदि cot θ = `7/8` है,तो `((1+sin θ )(1-sin θ))/((1+cos θ)(1-cos θ))` का मान निकालिए।
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उत्तर १
माना हम एक समकोण त्रिभुज ABC पर विचार करें, जो बिंदु B पर समकोण है।
`cot theta = 7/8`
यदि BC = 7k है, तो AB = 8k होगा, जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है।
AC2 = AB2 + BC2
= (8k)2 + (7k)2
= 64k2 + 49k2
= 113k2
AC = `sqrt113k`
`sin theta = (8k)/sqrt(113k) = 8/sqrt(113)`
`cos theta = (7k)/sqrt(113k) = 7/sqrt113`
`((1 + sin θ )(1 - sin θ))/((1 + cos θ)(1 - cos θ)) = (1 - sin^2θ)/(1 - cos^2θ)`
= `(1 -(8/sqrt113)^2)/(1 -(7/sqrt(113))^2)`
= `(1 - 64/113) /(1 - 49/113)`
= `((113 - 64)/113) /((113 - 49)/113)`
= `(49/113)/(64/113)`
= `49/64`
उत्तर २
`cot theta = 7/8`
`((1 + sin θ)(1 - sin θ))/((1 + cos θ)(1 - cos θ))`
= `(1 - sin^2 theta)/(1 - cos^2 theta)` ...[∵ (a + b) (a – b) = a2 − b2] a = 1, b = sin θ
हम जानते हैं कि sin2θ + cos2θ = 1
1 − sin2θ = cos2θ
1 − cos2θ = sin2θ
= `(cos^2 theta)/(sin^2 theta)`
= `cot^2 theta`
= `(cot theta)^2`
= `[7/8]^2`
= `49/64`
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