Question

यदि चतुर्भुज ABCD के ∠A और ∠B के समद्विभाजक परस्पर P पर प्रतिच्छेद करते हैं, ∠B और ∠C के समद्विभाजक Q पर, ∠C और ∠D के R पर तथा ∠D और ∠A के S पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो PQRS है एक ______।

विकल्प

• आयत

• समचतुर्भुज

• समांतर चतुर्भुज

• चतुर्भुज जिसके सम्मुख कोण संपूरक हैं।

Answer 1

यदि चतुर्भुज ABCD के ∠A और ∠B के समद्विभाजक परस्पर P पर प्रतिच्छेद करते हैं, ∠B और ∠C के समद्विभाजक Q पर, ∠C और ∠D के R पर तथा ∠D और ∠A के S पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो PQRS है एक चतुर्भुज जिसके सम्मुख कोण संपूरक हैं।

स्पष्टीकरण -

चतुर्भुज के सभी कोणों का योग 360° होता है।

⇒ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर,

⇒ `1/2` (∠A + ∠B + ∠C + ∠D) = `1/2` × 360° = 180°

∵ AP, PB, RC और RD, ∠A, ∠B, ∠C और ∠D के समद्विभाजक हैं।

⇒ ∠PAB + ∠ABP + ∠RCD + ∠RDC = 180°  ...(1)

त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है।

∴ ∠PAB + ∠APB + ∠ABP = 180°

⇒ ∠PAB + ∠ABP = 180° – ∠APB  ...(2)

इसी प्रकार,

∴ ∠RDC + ∠RCD + ∠CRD = 180°

⇒ ∠RDC + ∠RCD = 180° – ∠CRD  ...(3)

(ii) और (iii) को (i) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं।

180° – ∠APB + 180° – ∠CRD = 180°

⇒ 360° – ∠APB – ∠CRD = 180°

⇒ ∠APB + ∠CRD = 360° – 180°

⇒ ∠APB + ∠CRD = 180°  ...(4)

अभी,

∠SPQ = ∠APB   .....[ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण]

∠SRQ = ∠DRC  ......[ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण]

(4) आवेदन करने पर,

⇒ ∠SPQ + ∠SRQ = 180°