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प्रश्न
यदि चतुर्भुज ABCD के ∠A और ∠B के समद्विभाजक परस्पर P पर प्रतिच्छेद करते हैं, ∠B और ∠C के समद्विभाजक Q पर, ∠C और ∠D के R पर तथा ∠D और ∠A के S पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो PQRS है एक ______।
विकल्प
आयत
समचतुर्भुज
समांतर चतुर्भुज
चतुर्भुज जिसके सम्मुख कोण संपूरक हैं।
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उत्तर
यदि चतुर्भुज ABCD के ∠A और ∠B के समद्विभाजक परस्पर P पर प्रतिच्छेद करते हैं, ∠B और ∠C के समद्विभाजक Q पर, ∠C और ∠D के R पर तथा ∠D और ∠A के S पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो PQRS है एक चतुर्भुज जिसके सम्मुख कोण संपूरक हैं।
स्पष्टीकरण -
चतुर्भुज के सभी कोणों का योग 360° होता है।
⇒ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर,
⇒ `1/2` (∠A + ∠B + ∠C + ∠D) = `1/2` × 360° = 180°
∵ AP, PB, RC और RD, ∠A, ∠B, ∠C और ∠D के समद्विभाजक हैं।
⇒ ∠PAB + ∠ABP + ∠RCD + ∠RDC = 180° ...(1)
त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है।
∴ ∠PAB + ∠APB + ∠ABP = 180°
⇒ ∠PAB + ∠ABP = 180° – ∠APB ...(2)
इसी प्रकार,
∴ ∠RDC + ∠RCD + ∠CRD = 180°
⇒ ∠RDC + ∠RCD = 180° – ∠CRD ...(3)
(ii) और (iii) को (i) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं।
180° – ∠APB + 180° – ∠CRD = 180°
⇒ 360° – ∠APB – ∠CRD = 180°
⇒ ∠APB + ∠CRD = 360° – 180°
⇒ ∠APB + ∠CRD = 180° ...(4)
अभी,
∠SPQ = ∠APB .....[ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण]
∠SRQ = ∠DRC ......[ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण]
(4) आवेदन करने पर,
⇒ ∠SPQ + ∠SRQ = 180°
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