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प्रश्न
शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हुए, वक्र पृष्ठीय क्षेत्र फल और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्र फल के उन सूत्रों को सिद्ध कीजिए,
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उत्तर
माना ABC एक शंकु है। एक छिन्नक DECB को उसके आधार के समांतर समतल द्वारा काटा जाता है। मान लीजिए r1 और r2 शंकु के छिन्नक के सिरों की त्रिज्याएँ हैं और h शंकु के छिन्नक की ऊँचाई हैं।
In ΔABG and ΔADF, DF||BG
∴ ΔABG ∼ ΔADF
DF/BG = AF/AG =AD/AB
`r_2/r_1 = (h_1-h)/h_1 =(l_1-l)/l_1`
`r_2/r_1 = 1- h/h_1 = 1 - 1/l_1`
`l - l/l_1= r_2/r_1`
`l/l_1 =1-r_2/r_1 =(r_1-r_2)/r_1`
`l_1/l = r_1/(r_1-r_2)`
`l_1 = (r_1l)/(r_1-r_2)`
छिन्नक का CSA DECB = शंकु ABC का CSA - CSA शंकु ADE
`= pir_1l_1 - pir_2(l_1-l)`
`=pir_1((lr_1)/(r_1-r_2))-pir_2[(r_1l)/(r_1-r_2)-l]`
`= (pir_1^2l)/(r_1-r_2) - pir_2((r_1l-r_1l+r_2l)/(r_1-r_2))`
`=(pir_1^2l)/(r_1-r_2)-(pir_2^2l)/(r_1-r_2)`
`= pil[(r_1^2-r_2^2)/(r_1-r_2)]`
छिन्नक का सीएसए = Π(r1 + r2)l
छिन्नक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = छिन्नक का CSA + ऊपरी वृत्ताकार सिरे का क्षेत्रफल + निचले वृत्ताकार सिरे का क्षेत्रफल
`= pi(r_1+r_2)l+pir_2^2+pir_1^2`
`=pi[(r_1+r_2)l+r_1^2+r_2^2]`
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