Question

Prove that cos 5θ = 16 cos⁵θ – 20 cos³θ + 5 cos θ

Answer 1

cos⁵θ = cos(2θ + 3θ)

= cos 2θ cos 3θ – sin 2θ sin 3θ

= (2 cos²θ – 1)(4 cos³θ – 3 cos θ) – 2 sin θ cos θ(3 sin θ – 4 sin³θ)

= 8cos⁵θ – 6 cos³θ – 4 cos³θ + 3 cos θ – 6 sin²θ cos θ + 8 cos θ sin⁴θ

= 8 cos⁵θ – 6 cos³θ – 4 cos³θ + 3 cos θ – 6(1 – cos²θ) cos θ + 8 cos θ(1 – cos²θ)²

= 8 cos⁵θ – 6 cos³θ – 4 cos³θ + 3 cos θ – 6 cos θ + 6 cos³θ + 8 cos 0(1+ cos⁴θ – 2 cos²θ)

= 8 cos⁵θ – 6 cos³θ – 4 cos³θ + 3 cos θ – 6 cos θ + 6 cos³θ + 8 cos θ + 8 cos⁵θ – 16 cos³θ

= 16 cos⁵θ – 20 cos³θ + 5 cos θ

= R.H.S