Question

निम्नलिखित की रचना कीजिए और रचना का औचित्य दीजिए -

एक समचतुर्भुज जिसके विकर्णों की लंबाइयाँ 4 cm और 6 cm हैं।

Answer 1

हम जानते हैं कि, एक समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं और एक समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं। इसलिए, एक समचतुर्भुज की रचना करने के लिए जिसके विकर्ण 4 सेमी और 6 सेमी हैं, निम्नलिखित चरणों का उपयोग करें -

1. विकर्ण AC = 4 सेमी खींचिए।

2. A और C को केंद्र मानकर और `1/2` AC से अधिक त्रिज्या लेकर रेखाखंड AC के दोनों ओर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करने के लिए चाप लगाइए।

3. दोनों चापों को काटकर एक दूसरे को P और Q पर प्रतिच्छेद करें, फिर PQ को मिला दें।

4. मान लीजिए कि PQ, AC को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करता है। इस प्रकार, PQ, AC का लम्ब समद्विभाजक है।

5. OP और OQ में से 3 सेमी लंबाई काट लें, तो हमें बिंदु B और D प्राप्त होते हैं।

6. अब, AB, BC, CD और DA को मिलाइए। इस प्रकार, ABCD अभीष्ट समचतुर्भुज है।

औचित्य - 

चूँकि, D और B, AC के लंब समद्विभाजक पर स्थित हैं।

DA = DC और BA = BC   ...(i) [चूंकि, रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर प्रत्येक बिंदु रेखाखंड के अंतिम बिंदुओं से समदूरस्थ होता है।]

अब, ∠DOC = 90°

साथ ही, OD = OB = 3 cm

इस प्रकार, AC लम्ब समद्विभाजक या BD है।

CD = CB  ...(ii)

AB = BC = CD = DA

समीकरण (i) और (ii) से,

ABCD एक समचतुर्भुज है।