Question

दर्शाइए कि मूल बिन्दु से जाने वाली और रेखा y = mx + c से θ कोण बनाने वाली उस रेखा का समीकरण `"y"/"x" = ±("m" + tan θ)/(1 - "m" tan θ)` हैं।

Answer 1

रेखा PA का समीकरण y = mx + c है

यह रेखा OP के साथ कोण θ बनाती है।

रेखा PA की ढाल = m

मान लीजिए OP की ढाल = m₁ है।

अब tan θ = ± `("m"_1 - "m")/(1 + "m"_1"m")`, जहाँ m = tan θ

+ve चिन्ह लेने पर, tan θ = ± `("m"_1 - "m")/(1 + "m"_1"m")`

या `(1 + "m"_1"m")tan θ = "m"_1 - "m"`

या tan θ + m₁ m tan θ = m₁ - m

या m + tan θ = m(1 - m tan θ)

या `"m"_1 = ("m" + tan θ)/(1 - "m" tan θ)`

-ve चिन्ह लेने पर, 

`"m"_1 = ("m" + tan θ)/(1 - "m" tan θ)`

`(- 1 + "m"_1"m") tan θ = "m"_1 - "m"`

या (1 + m₁m) tan θ  = −m₁ + m

m₁(1 + m tan θ) = m − tan θ

∴ `"m"_1 = ("m" - tan θ)/(1 + "m" tan θ)`

इसलिए दोनों ढालों को `("m" ± tan θ)/(1 "m" ±  tan θ)` से दर्शाया जाता है।

∴ मूल बिंदु (0, 0) से जाने वाली रेखा का समीकरण,

(y - 0) = m₁ (x - 0)

y =m₁ × x

या `"y"/"x" = "m"_1`

∴ अभीष्ट रेखाओं का समीकरण

`"y"/"x" = ("m" ± tan θ)/(1 ± tan θ)`