Question

आकृति में, एक वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PQ और PR इस प्रकार खींची गई हैं कि ∠RPQ = 30° है। एक जीवा RS स्पर्श रेखा PQ के समांतर खींची जाती है। ∠RQS ज्ञात कीजिए।

[संकेत: Q से होकर जाती हुई QP पर एक लंब रेखा खींचिए।]

Answer 1

PQ और PR बाह्य बिंदु P से खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ हैं।

∴ PQ = PR   ...[किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।]

⇒ ∠PQR = ∠QRP  ...[समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]

अब, ΔPQR में,

∠PQR + ∠QRP + ∠RPQ = 180°  ...[किसी भी त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।]

⇒ ∠PQR + ∠PQR + 30° = 180°

⇒ 2∠PQR = 180° – 30° = 150°  ...[∵ ∠PQR = ∠QRP]

⇒ ∠PQR = `(180^circ - 30^circ)/2` = 75°

चूंकि, SR || QP

∴ ∠SRQ = ∠RQP = 75°   ...[वैकल्पिक आंतरिक कोण]

साथ ही, ∠PQR = ∠QSR = 75°  ...[वैकल्पिक खंड प्रमेय द्वारा]

In ΔQRS,

∠Q + ∠R + ∠S = 180°  ...[किसी भी त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।]

⇒ ∠Q = 180° – (75° + 75°) = 30°

∴ ∠RQS = 30°