Commerce (Hindi Medium) Class 12 [कक्षा १२] - CBSE Question Bank Solutions

निम्नलिखित सदिशों के परिमाण का परिकलन कीजिए:

`veca = hati + hatj + hatk;  vecb = 2hati - 7hatj - 3hatk;  vecc = 1/sqrt3hati + 1/sqrt3hatj - 1/sqrt3hatk`

समान परिमाण वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।

x और y के मान ज्ञात कीजिए ताकि सदिश `2hati + 3hatj` और `xhati + yhatj` समान हों।

सदिश `veca = hati - 2hatj + hatk, vecb = -2hati + 4hatj + 5hatk` और `vecc = hati - 6hatj - 7hatk` का योगफल ज्ञात कीजिए।

सदिश `veca = hati + hatj + 2hatk` के अनुदिश एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित रेखा-युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:

`(x - 2)/2 = (y - 1)/5 = (z + 3)/-3` और `(x + 2)/-1 = (y - 4)/8 = (z - 5)/4`

निम्नलिखित रेखा-युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:

`x/2 = y/2 = z/1` और `(x - 5)/4 = (y - 2)/1 = (z - 3)/8`

p का मान ज्ञात कीजिए ताकि रेखाएँ `(1 - x)/3 = (7y - 14)/(2p) = (z - 3)/2` और `(7 - 7x)/(3p) = (y - 5)/1 = (6 -z)/5` परस्पर लंब हों।

दिखाइए कि रेखाएँ `(x - 5)/7 = (y + 2)/-5 = z/1` और `x/1 = y/2 = z/3` परस्पर लंब हैं।

उन रेखाओं के मध्य कोण ज्ञात कीजिए, जिनके दिक्-अनुपात a, b, c और b − c, c − a, a − b हैं।

एक लड़की पश्चिम दिशा में 4 km चलती है। उसके पश्चात् वह उत्तर से 30° पश्चिम की दिशा में 3 km चलती है और रूक जाती है। प्रस्थान के प्रारंभिक बिंदु से लड़की का विस्थापन ज्ञात कीजिए।

एक समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ `2hati - 4hatj + 5hatk` और `hati - 2hatj - 3hatk` हैं। इसके विकर्ण के समांतर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।

किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय X के लिए एक द्विआधारी संक्रिया * : P(X) × P(X) → P(X) पर विचार कीजिए, जो A * B = A ∩ B, ∀A, B ∈ P(X) द्वारा परिभाषित है, जहाँ P(X) समुच्चय X का घात समुच्चय (Power set) है | सिद्ध कीजिए कि इस संक्रिया का तत्समक अवयव X है तथा संक्रिया * के लिए P(X) में केवल X व्युत्क्रमणीय अवयव है

मान लीजिए कि S = {a, b, c} तथा T = {1, 2, 3} है | S से T तक के निम्नलिखित फलनों F के लिए F^-1 ज्ञात कीजिए, यदि उसका अस्तित्व है:

F = {(a, 3), (b, 2), (c, 1)}

मान लीजिए कि S = {a, b, c} तथा T = {1, 2, 3} है | S से T तक के निम्नलिखित फलन F के लिए F^-1 ज्ञात कीजिए, यदि उसका अस्तित्व है:

F = {(a, 2), (b, 1), (c, 1)}

किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय X के लिए मान लीजिए कि * : P(X) × P(X) → P(X), जहाँ A * B = (A - B) ∪ (B - A), ∀A, B ∈ P(X) द्वारा परिभाषित है | सिद्ध कीजिए कि रिक्त समुच्चय Φ, संक्रिया * का तत्समक है तथा P(X) के समस्त अवयव A व्युत्क्रमणीय है, इस प्रकार कि A^-1 = A.(संकेत : (A - Φ) ∪ (Φ - A)  = A. तथा (A - A) ∪ (A - A) = A * A = Φ).

मान लीजिए कि A = {−1, 0, 1, 2}, B = {−4, −2, 0, 2} और f, g : A → B, क्रमशः f(x) = x² − x, x ∈ A तथा g(x) = `2|x - 1/2| - 1`, x ∈ A द्वारा परिभाषित फलन हैं। क्या f तथा g समान हैं? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
(संकेत: नोट कीजिए कि दो फलन f : A → B तथा g : A → B समान कहलाते हैं यदि f(a) = g(a) ∀ a ∈ A हो।) 

मान लीजिए A = `[(1,2,1),(2,3,1),(1,1,5)]` हो तो सत्यापित कीजिए कि

1. [adj A]^–1 = adj(A^–1)
2. (A^–1)^–1 = A

यदि A⁻¹ = `[(3,-1,1),(-15,6,-5),(5,-2,2)]` और B = `[(1,2,-2),(-1,3,0),(0,-2,1)]`, हो तो (AB)⁻¹ का मान ज्ञात कीजिए।

(x – a)² + 2y² = a² द्वारा निरूपित वक्रों के कुल का अवकल समी० निर्मित कीजिए जहाँ a एक स्वेच्छ अचर है।