Question

ट्रैफिक कम करने और रेडलाइट से बचने के लिए अकसर व्यस्त सड़कों पर गोल चक्कर बनाए जाते हैं।

एक ऐसा ही गोल चक्कर इस प्रकार बनाया गया कि उसकी सीमा C₁ ;  x² + y² = 64 द्वारा प्रदत्त है। इस गोल चक्कर के मध्य में एक वृत्ताकार तालाब है जिसमें एक फव्वारा लगा हुआ है, जिसकी समीकरण C₂ ;  x² + y² = 4 द्वारा प्रदत्त है।

उपरोक्त सूचनाओं के आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

1. समीकरण C₁ तथा C₂ को आकृति से दर्शाइए। [1]
2. दोनों C₁ तथा C₂ के लिए y को x के फलन के रूप में दर्शाइए। (y = f(x)) [1]
3. 1. पूरे गोल चक्कर द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल समाकलन विधि से ज्ञात कीजिए। [2]
      अथवा
   2. वृत्ताकार तालाब द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल समाकलन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए। [2]

Answer 1

(i)

दिए गए समीकरण मूल बिंदु (0, 0) पर केंद्रित दो समकेंद्रित वृत्तों को दर्शाते हैं:

• C₁ (राउंडअबाउट): x² + y² = 8² (त्रिज्या (r) = 8 इकाई)
• C₂ (वृत्ताकार तालाब): x² + y² = 2² (त्रिज्या (r) = 2 इकाई)

(ii)

y = f(x) के रूप में व्यक्त करने के लिए, दोनों समीकरणों में y को अलग करते हैं:

• C₁ के लिए: y = `+-sqrt(64 - x^2)`
• C₂ के लिए: y = `+-sqrt(4 - x^2)`

(iii) (a)

पूरे राउंडअबाउट ( (C₁), we calculate the area in the first quadrant and multiply by 4:

क्षेत्रफल = `4 int_0^8 sqrt(8^2 - x^2)  dx`

पहचान का उपयोग करते हुए:

 `int sqrt(a^2 - x^2)  dx = x/2 sqrt(a^2 - x^2) + a^2/2 sin^-1 (x/a)`:

क्षेत्रफल = `4[x/2 sqrt(64 - x^2) + 64/2 sin^-1 (x/8)]_0^8`

= `4[(0 + 32 * π/2) - (0 + 0)]`

= 4(16π)

अतः,

क्षेत्रफल = 64π sq. units

अथवा

(iii) (b)

इसी प्रकार, (C₂) (त्रिज्या = 2) के लिए:

क्षेत्रफल = `4 int_0^2 sqrt(2^2 - x^2)  dx`

= `4[ x/2 sqrt(4 - x^2) + 4/2 sin^-1 (x/2)]_0^2`

= `4[(0 + 2 * π/2) - (0 + 0)]`

= 4(π)

अतः,

क्षेत्रफल = 4π sq. units