Question

सिद्ध कीजिए कि बिंदुओं А(0, −1, −1) तथा B(4, 5, 1) से होकर जाने वाली रेखा बिंदुओं C(3, 9, 4) तथा D(−4, 4, 4) से होकर जाने वाली रेखा को काटती है। अतः रेखाओं AB तथा CD के प्रतिच्छेदन बिंदु तथा मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण लिखिए।

Answer 1

बिंदुओं A(0, −1, −1), B(4, 5, 1) से जाने वाली रेखा का सममित रूप है:

`(x - 0)/4 = (y + 1)/6 = (z + 1)/2 = lambda`

अतः,

x = 4λ, y = −1 + 6λ, z = −1 + 2λ

इसी प्रकार, बिंदुओं C(3, 9, 4) और D(−4, 4, 4) से जाने वाली रेखा का सममित रूप:

`(x - 3)/-7 = (y - 9)/-5 = (z - 4)/0 = mu`

अतः, x = 3 − 7μ, y = 9 − 5μ, z = 4

प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए z बराबर रखें:

−1 + 2λ = 4

2λ = 5

`lambda = 5/2`

अब इसे पहली रेखा में रखने पर:

`x = 4 * 5/2 = 10`

`y = -1 + 6 * 5/2 = 14`

z = 4

अतः प्रतिच्छेदन बिंदु P(10, 14, 4) है।

जाँच के लिए दूसरी रेखा में:

10 = 3 − 7μ

7 = −7μ

μ = −1

y = 9 − 5(−1)

= 14,

z = 4

इससे पुष्टि होती है कि दोनों रेखाएँ P(10, 14, 4) पर मिलती हैं।

अब मूल बिंदु O(0, 0, 0) और P(10, 14, 4) से जाने वाली रेखा के दिशा अनुपात 10, 14, 4 हैं, जिन्हें 2 से भाग देने पर 5, 7, 2 मिलते हैं।

अतः वांछित रेखा का समीकरण है:

`x/5 = y/7 = z/2`