Question

सिद्ध कीजिए कि `sqrt(3)` एक अपरिमेय संख्या है।

Answer 1

मान लीजिए कि `sqrt(3)` एक परिमेय संख्या है।

∴ `sqrt(3) = p/q`, जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और q ≠ 0

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

`3 = p^2/q^2`

⇒ p² = 3q²

∵ p², 3 से विभाज्य है।

∴ p भी 3 से विभाज्य है।   ...(i)

मान लीजिए p = 3r, जहाँ r कोई धनात्मक पूर्णांक है।

∴ p² = 9r²

⇒ 3q² = 9r²

⇒ q² = 3r²

⇒ q², 3 से विभाज्य है।

∴ q भी 3 से विभाज्य है।   ...(ii)

समीकरण (i) और (ii) से, p और q दोनों 3 से विभाज्य हैं, जो इस तथ्य का खंडन करता है कि p और q सह-अभाज्य हैं।

अतः, हमारी धारणा गलत है।

∴ `sqrt(3)` एक अपरिमेय संख्या है।