Question

Prove that `(cosA + sinA - 1)/(cosA - sinA + 1)` = cosec A − cot A.

Answer 1

L.H.S. = `(cosA + sinA - 1)/(cosA - sinA + 1)`

= `([cosA + (sinA - 1)])/([cosA - (sinA - 1)]) xx ([cosA + (sinA - 1)])/([cosA + (sinA - 1)])`

= `(cos^2A + cos A sin A - cos A + sin A cos А + sin^2 A - sin A - cos A - sin A + 1)/((cosA)^2 - (sin A -1)^2)`

= `((cos^2A + sin^2A) + 2 cos A sin A - 2 cos A - 2sin A +1)/(cos^2 A - (sin^2 A + 1 - 2 sin A))`

= `((2 - 2 cos A) + 2 sin A cos A - 2 sin A)/(cos^2A - sin^2 A - 1 + 2 sin A)`

= `(2(1 - 2 cos A) + 2 sin A (cos A - 1) 2(1 - cos A) - 2sin A(1 - cos A))/((cos^2 A - 1) - sin^2 A + 2sin A - sin^2 A - sin^2 A + 2sin A)`  ....(∵ 1 − cos² A = sin² A)

= `((1 - cos A)(2 - 2sin A))/(2sin A - 2sin^2 A)`

= `(2(1 - cos A)(1 - sin A))/(2sin A(1 - sin A))`

= `(1 - cos A)/sin A`

= `1/sin A - cos A/sin A`

= cosec A – cot A

L.H.S. = R.H.S.

Hence proved.