Question

खालील रेषीय प्रयोजनात्मक प्रश्‍न (linear programing problem) आलेखीय पद्धत वापरून सोडवा:

कमाल (maximize): z = 3x + 5y

अटी (subject to): x + 4y ≤ 24,

3x + y ≤ 21,

x + y ≤ 9,

x ≥ 0, y ≥ 0

आणि (z) ची कमाल (maximize) किंमत काढा.

Answer 1

साध्य प्रदेश (Feasible Region) काढण्यासाठी, खालीलप्रमाणे तक्ता तयार करा:

असमानता	x + 4y ≤ 24	3x + y ≤ 21	x + y ≤ 9
संबंधित समीकरण (रेषेचे)	x + 4y = 24	3x + y = 21	x + y = 9
रेषेचा X-अक्षाशी असलेला छेदनबिंदू	(24, 0)	(7, 0)	(9, 0)
रेषेचा Y-अक्षाशी असलेला छेदनबिंदू	(0, 6)	(0, 21)	(0, 9)
प्रदेश	उगम बाजू	उगम बाजू	उगम बाजू

x ≥ 0, y ≥ 0 हे प्रथम चरण दर्शवतात.

छायांकित भाग OABCD हा संभाव्य प्रदेश (feasible region) आहे, ज्याचे शिरोबिंदू O(0, 0), A(7, 0), B, C आणि D(0, 6) हे आहेत.

B हा 3x + y = 21 आणि x + y = 9 या रेषांचा छेदनबिंदू आहे.

वरील समीकरणे सोडवल्यास, आपल्याला मिळते:

x = 6, y = 3

∴ B ≡ (6, 3)

C हा x + 4y = 24 आणि x + y = 9 या रेषांचा छेदनबिंदू आहे.

वरील समीकरणे सोडवल्यास, आपल्याला मिळते:

x = 4, y = 5

∴ C ≡ (4, 5)

येथे, उद्दिष्ट फलन (objective function) Z = 3x + 5y हे आहे.

∴ Z बिंदूपाशी O(0, 0) = 3(0) + 5(0) = 0

Z बिंदूपाशी A(7, 0) = 3(7) + 5(0) = 21

Z बिंदूपाशी B(6, 3) = 3(6) + 5(3) = 18 + 15 = 33

Z बिंदूपाशी C(4, 5) = 3(4) + 5(5) = 12 + 25 = 37

Z बिंदूपाशी D(0, 6) = 3(0) + 5(6) = 30

∴ Z या बिंदूपाशी Z ची कमाल किंमत 37 आहे.

∴ जेव्हा x = 4 आणि y = 5 असते, तेव्हा Z ची कमाल किंमत 37 असते.