Question

जर x आणि y मधील दोन कोटी चे (degree 2) एक जिनसी (homogeneous) समीकरण जसे की ax² + 2hxy + by² = 0 हे नेहमीच मूळबिंदूतून जाणाऱ्या रेषांची जोडी दर्शविते असे सिद्ध करा जेव्हा h² − ab ≥ 0 तसेच दाखवा की x² + y² = 0 की हे समीकरण दोन रेषा दाखवत नाही. 

Answer 1

x आणि y मधील दुसऱ्या घाताची (कोटीची) एक जिनसी समीकरण खालीलप्रमाणे असते:

ax² + 2hxy + by² = 0

जर या समीकरणाचे खालील स्वरूपाच्या दोन रेषीय अवयवांमध्ये रूपांतर करता येत असेल, तर हे समीकरण मूळबिंदूतून जाणाऱ्या सरळ रेषांची एक जोडी दर्शवते:

(l₁​x + m₁​y) (l₂​x + m₂​y) = 0

येथे l₁, m₁, l₂, m₂​ हे स्थिरांक आहेत.

दिलेले समीकरण रेषांची जोडी दर्शवते की नाही हे तपासण्यासाठी, आपण या समीकरणाला `x/y` किंवा `y/x` मधील एक वर्गसमीकरण म्हणून विचारात घेतो; यासाठी आपण असे गृहीत धरतो की:

ax² + 2hxy + by² = 0

संपूर्ण समीकरणाला y² ने भागल्यास (येथे y ≠ 0 असे गृहीत धरले आहे):

`a(x/y)^2 + 2h(x/y) + b = 0`

हे `x/y` मधील एक वर्गसमीकरण आहे. हे समीकरण दोन भिन्न रेषा दर्शवत असण्यासाठी, त्याला दोन भिन्न वास्तव मुळे असणे आवश्यक आहे. वास्तव मुळे असण्यासाठीची अट अशी आहे की, त्या समीकरणाचा विवेचक अऋण असणे आवश्यक आहे.

(2h)² − 4ab ≥ 0

4h² − 4ab ≥ 0

h² − ab ≥ 0

अशा प्रकारे, समीकरण ax² + 2hxy + by² = 0 हे मूळबिंदूतून जाणाऱ्या सरळ रेषांची जोडी दर्शवते, जर आणि तरच:

h² − ab ≥ 0

खालील समीकरणाचा विचार करा:

x² + y² = 0

या समीकरणाची ax² + 2hxy + by² = 0 या सामान्य स्वरूपाशी तुलना केल्यास:

आपल्याला a = 1, h = 0, b = 1 असे मिळते.

आता, वरील अटीची पडताळणी करा:

h² − ab = 0² − (1 × 1)

= 0 − 1

= −1

येथे h² − ab < 0, असल्याने, x² + y² = 0 हे समीकरण रेषांची जोडी दर्शवण्यासाठीची अट पूर्ण करत नाही. त्याऐवजी, या समीकरणाचा एकमेव वास्तव उपाय हा x = 0 आणि y = 0 हा आहे; याचा अर्थ असा की, हे समीकरण दोन रेषा न दर्शवता, केवळ मूळबिंदू हा एकच बिंदू दर्शवते.