Question

जर खोलीचे तापमान 25°C असताना वस्तूचे तापमान 80°C पासून 50°C पर्यंत थंड होण्यास 30 मिनिटे लागतात त्या वस्तूचे तापमान १ तासानंतर किती होईल ते काढा.

Answer 1

t मिनिटांच्या वेळी वस्तूचे तापमान θ°C आहे असे मानू. खोलीचे तापमान 25°C दिले आहे.

तर, न्यूटनच्या शीतलीकरण नियमानुसार, तापमानातील बदलाचा दर `(dθ)/dt` हा (θ − 25) च्या समप्रमाणात असतो. म्हणजे `(dθ)/dt ∝ (θ - 25)`

i.e. `(dθ)/dt ∝ (θ - 25)`

∴ `(dθ)/dt` = −k(θ − 25), जेथे k > 0

∴ `(dθ)/(θ - 25)` = −k dt

समाकलित केल्यावर, आम्हाला मिळते

`int 1/(θ - 25)dθ = -k int dt + c`

∴ log (θ − 25) = −kt + c

सुरुवातीला, म्हणजे जेव्हा t = 0, θ = 80

∴ log (80 − 25) = −k × 0 + c  ...(∴ c = log 55)

∴ log (θ − 25) = −kt + log 55

∴ log (θ − 25) − log 55 = −kt

`log ((θ - 25)/55) = -kt`  ...(1)

आता, जेव्हा t = 30, θ = 50

∴ `log ((50 - 25)/55) = - 30"k"`

∴ k = `- 1/30 log (5/11)`

∴ (1) होतो, `log ((θ - 25)/55) = t/30 log (5/11)`

जेव्हा t = 1 तास = 60 मिनिटे, तेव्हा

`log ((θ - 25)/55) = 60/30 log (5/11)`

`log ((θ - 25)/55) = 2 log (5/11)`

∴ `log ((θ - 25)/55) = log (5/11)^2`

∴ `(θ - 25)/55 = (5/11)^2`

∴ `(θ - 25)/55 = 25/121`

∴ `θ - 25 = 55 xx 25/121`

∴ `θ - 25 = 125/11`

∴ `θ = 125/11 + 25`

∴ `θ = (125 + 275)/11`

∴ `θ = 400/11`

∴ θ = 36.36

∴ 1 तासानंतर वस्तूचे तापमान 36.36°C असेल.