Question

जैसा चित्र में दिखाया गया है, एक खड़ी होने वाली सीढी के दो पक्षों BA और CA की लम्बाई 1.6m है और इनको A पर कब्जा लगाकर जोड़ा गया है। इन्हें ठीक बीच में 0.5m लम्बी रस्सी DE द्वारा बाँधा गया है। सीढ़ी BA के अनुदिश B से 1.2 m की दूरी पर स्थित बिन्दु F से 40 kg का एक भार लटकाया गया है। यह मानते हुए कि फर्श घर्षणरहित है और सीढी का भार उपेक्षणीय है, रस्सी में तनाव और सीदी पर फर्श द्वारा लगाया गया बल ज्ञात कीजिए।(g =9.8 m/s² लीजिए)
[संकेत : सीढ़ी के दोनों ओर के संतुलन पर अलग-अलग विचार कीजिए]

Answer 1

माना सीढ़ी के निचले सिरों पर फर्श की प्रतिक्रिया R₁ तथा R₂ है तथा डोरी का तनाव T है। माना सीढ़ी की दोनों भुजाएँ ऊर्ध्वाधर से कोण से बनाती हैं।

ऊर्ध्वाधर दिशा में संतुलित बलों के कारण `"R"_1 + "R"_2 = "W" = "mg"`

अर्थात  `"R"_1 + "R"_2 = 40 "kg" xx 9.8  "m"  "s"^-2 = 392  "N"`    ...(1)

भुजा AB के घूर्णी संतुलन के लिए बिन्दु A परितः आघूर्ण लेने पर

T . AM + W . FL - R₁ . BN = 0    ... (2)

इसी प्रकार भुजा AC के घूर्णी संतुलन के लिए बिन्दु A परितः आघूर्ण लेने पर - 

`"R"_2  "NC" - "T". "AM" = 0`     ...(3)

∵ DM = DE/2 = 0.5 m

तथा AD = AB/2 = 1.6 m

∴ ΔADM में,  `"sin " θ = "DM"/"AD" = 0.25/0.8 = 0.3125`

∴ θ = sin^-1 (0.3125) = 18°

cos θ = cos 18° = 0.95 तथा tan θ = tan 18° = 0.33

समीकरण (3) से,

`"T" = "R"_2("NC"/"AM") = "R"^_ (("AC"  "sin"  theta)/("AE"  "cos"  theta)) = "R"_2((2"AE")/("AE") "tan" theta)`

= 2R₂ × 0.33 = 0.66 R₂

समीकरण (2) से,

T . AD  cos θ  + W . AF sin  θ - R₁ . AB sin θ = 0

T × 0.8   cos θ + W  × 0.4 sin  θ - R_{1 ×} 1.6 sin θ = 0

∵ AF = AB - BF = (1.6 - 1.2) m

0.66 R₂ × 0.8  ×  0.95 + 392 × 0.4 × 0.3125 - R₁ × 1.6 × 0.3125 = 0 (T व W के मान रखने पर)

या 0.5R₂ + 49 - 0.5R₁ = 0

या 0.5R₁ -  0.5R₂ = 49

या  R₁ -  R₂ = 98 N ...(5)

समीकरण (1) से,

 R₁ +  R₂ = 392 N 

हल करने पर,  R₁ = 245 N  तथा R₂ = 147 N

तथा समीकरण (4) से,  T = 0.66  R₂ = 97N

अतः रस्सी में तनाव 97 N तथा फर्श द्वारा सीढ़ी की भुजाओं पर आरोपित बल क्रमशः 245 N तथा 147 N है।