Question

If (x − 2) is a factor of 2x³ − x² − px − 2, then:

1. Find the value of p.
2. With the value of p, factorise the above expression completely.

Answer 1

i.

Let x – 2 = 0,

x = 2

Let f(x) = 2x³ − x² − px − 2

∵ x – 2 is a factor of f(x).

∴ f(2) = 0

⇒ 2(2)³ − 2² − p(2) − 2 = 0

⇒ 2(8) − 4 − p(2) − 2 = 0

⇒ 16 − 4 − 2p − 2 = 0

⇒ 10 − 2p = 0

⇒ −2p = −10

⇒ p = `(-2)/(-10)`

⇒ p = 5

ii.

Now, the polynomial will be:

f(x) = 2x³ − x² − 5x − 2

         2x² + 3x + 1
`x – 2")"overline(2x^3 − x^2 − 5x − 2)`
        2x³ − 4x²
      −      +                       
               3x² − 5x
               3x² − 6x
             −       +                
                           x − 2
                           x − 2
                        −    +        
                            x            

2x³ − x² − 5x − 2 = (x – 2) (2x² + 3x + 1)

= (x – 2) (2x² + 2x + x + 1)

= (x – 2) [2x(x + 1) + 1(x + 1)]

= (x – 2) (x + 1) (2x + 1)