Question

If sin(y + z – x), sin(z + x – y), sin(x + y – z) are in A.P, then prove that tan x, tan y and tan z are in A.P.

Answer 1

In A.P. commom difference are equal, namely t₂ – t₁ = t₃ – t₂

sin(z + x – y) – sin(y + z – x) = sin(x + y – z) – sin(z + x – y)

`=> 2 cos (((z + x - y) + (y + z - x))/2) sin  (((z + x - y) - (y + z - x))/2)` 

`[∵ sin "C" - sin "D" = 2 cos (("C + D")/2) sin (("C - D")/2)]`

`=> 2 cos (((x + y - z) + (z + x - y))/2) sin  (((x + y - z) - (z + x - y))/2)` 

`=> 2 cos ((z + x - y + z - x)/2) sin  ((z + x - y - y - z + x)/2)` 

`=> 2 cos  (x + y - z + z + x - y)/2 sin (x + y - z - z - x + y)`

= `2 cos ((2z)/2) sin ((2x - 2y)/2) = 2 cos ((2x)/2) sin ((2y - 2z)/2)`

cos z sin (x – y) = cos x sin (y – z)

cos z (sin x cos y – cos x sin y) = cos x (sin y cos z – cos y sin z)

Divide bothsides by cos x cos y cos z we get

∴ `(cos z (sin x cos y  – cos x sin y))/(cos x cos y cos z) = (cos x (sin y cos z – cos y sin z))/(cos x cos y cos z)`

∴ `(sin x cos y  – cos x sin y)/(cos x cos y) = (sin y cos z – cos y sin z)/(cos y cos z)`

∴ `(sin x cos y)/(cos x cos y) - (cos x sin y)/(cos x cos y) = (sin y cos z)/(cos y cos z) - (cos y sin z)/(cos y cos z)`

∴ `(sin x)/(cos x) - (sin y)/(cos y) = (sin y)/(cos y) - (sin z)/(cos z)`

tan x – tan y = tan y – tan z

Multiply both sides by (-1) we get,

tan y – tan x = tan z – tan y

This means tan x, tan y, and tan z are in A.P.

Hence proved.