Question

 If \[A = \begin{bmatrix}\sin \alpha & \cos \alpha \\ - \cos \alpha & \sin \alpha\end{bmatrix}\] , verify that A^T A = I₂.

 

Answer 1

\[Given: A = \begin{bmatrix}\sin\alpha & \cos\alpha \\ - \cos\alpha & \sin\alpha\end{bmatrix} \] 

\[ A^T = \begin{bmatrix}\sin\alpha & - \cos\alpha \\ \cos\alpha & \sin\alpha\end{bmatrix}\] 

\[Now, \] 

\[ A^T A = \begin{bmatrix}\sin\alpha & - \cos\alpha \\ \cos\alpha & \sin\alpha\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sin\alpha & \cos\alpha \\ - \cos\alpha & \sin\alpha\end{bmatrix} \] 

\[ \Rightarrow A^T A = \begin{bmatrix}\left( \sin\alpha \right)\left( \sin\alpha \right) + \left( - \cos\alpha \right)\left( - \cos\alpha \right) & \left( \sin\alpha \right)\left( \cos\alpha \right) + \left( - \cos\alpha \right)\left( \sin\alpha \right) \\ \left( \cos\alpha \right)\left( \sin\alpha \right) + \left( \sin\alpha \right)\left( - \cos\alpha \right) & \left( \cos\alpha \right)\left( \cos\alpha \right) + \left( \sin\alpha \right)\left( \sin\alpha \right)\end{bmatrix}\] 

\[ \Rightarrow A^T A = \begin{bmatrix}\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha & \sin\alpha \cos\alpha - \sin\alpha \cos\alpha \\ \sin\alpha \cos\alpha - \sin\alpha \cos\alpha & \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha\end{bmatrix}\] 

\[ \Rightarrow A^T A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = I\]