Question

If `log (x^2 + y^2) = 2 tan^-1 (y/x)`, show that `(dy)/(dx) = (x + y)/(x - y)`

Answer 1

We have, `log (x^2 + y^2) = 2 tan^-1 (y/x)`

⇒ `(1)/(2) log (x^2 + y^2) = tan^-1 (y/x)`

Differentiate with respect to x, we get,

⇒ `(1)/(2) (d)/(dx) log (x^2 + y^2) = (d)/(dx) tan^-1 (y/x)`

⇒ `(1)/(2) ((1)/(x^2 + y^2)) (d)/(dx) (x^2 + y^2) = (1)/(1+ (y/x)^2)  (d)/(dx) (y/x)`

⇒ `(1)/(2) ((1)/(x^2 + y^2)) [2x + 2y (dy)/(dx)] = (x^2)/((x^2 + y^2)) [(x (dy)/(dx) - y (d)/(dx) (x))/(x^2)]`

⇒ `((1)/(x^2 + y^2)) (x + y (dy)/(dx)) = (x^2)/((x^2 + y^2)) [(x (dy)/(dx) - y(1))/(x^2)]`

⇒ `((1)/(x^2 + y^2)) (x + y (dy)/(dx)) = (x^2)/((x^2 + y^2)) [(x (dy)/(dx) - y(1))/(x^2)]`

⇒ `x + y (dy)/(dx) = x (dy)/(dx) - y`

⇒ `y(dy)/(dx) - x(dy)/(dx) = -y - x`

⇒ `(dy)/(dx) (y - x) = - (y + x)`

⇒ `(dy)/(dx) = (-(y + x))/(y - x)`

⇒ `(dy)/(dx) = (x + y)/(x - y)`