Question

If a + `1/a`= 6 and  a ≠ 0 find :
(i) `a - 1/a   (ii)  a^2 - 1/a^2`

Answer 1

We know that,
( a + b )² = a² + 2ab + b²
and
( a - b )² = a² - 2ab + b² 
Thus,
`( a + 1/a )^2 = a^2 + 1/a^2 + 2 xx a xx 1/a`

                       = `a^2 + 1/a^2 + 2`           .....(1)
Given that `a + 1/a` = 6; Substitute in equation (1), we have
`(6)^2 = a^2 + 1/a^2 + 2`

⇒ `a^2 + 1/a^2 = 36 - 2`

⇒ `a^2 + 1/a^2 = 34`                                ....(2)

Similarly, consider
`( a - 1/a )^2 = a^2 + 1/a^2 - 2 xx a xx 1/a`

= `a^2 + 1/a^2 - 2`   
= 34 - 2                                [ from (2) ]

⇒ `( a - 1/a )^2` = 32

⇒ `( a - 1/a ) = +- sqrt32`

⇒ `( a - 1/a ) = +-  4sqrt2`                       ....(3)

(ii) We need to find  `a^2 - 1/a^2`

We know that, `a^2 - 1/a^2 = ( a - 1/a )( a + 1/a )` 

`a - 1/a = +- 4sqrt2 ; a + 1/a = 6`

Thus,
`a^2 - 1/a^2 = (+- 4sqrt2 )(6)`

⇒ `a^2 - 1/a^2 = (+- 24sqrt2 )`