Question

If `A=[[-2],[4],[5]]` , B = [1 3 −6], verify that (AB)^T = B^T A^T

 

Answer 1

\[Given: A = \begin{bmatrix}- 2 \\ 4 \\ 5\end{bmatrix}\] 

\[ A^T = \begin{bmatrix}- 2 & 4 & 5\end{bmatrix}\] 

\[B = \begin{bmatrix}1 & 3 & - 6\end{bmatrix} \] 

\[ B^T = \begin{bmatrix}1 \\ 3 \\ - 6\end{bmatrix}\] 

\[Now, \] 

\[AB = \begin{bmatrix}- 2 \\ 4 \\ 5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 3 & - 6\end{bmatrix} \] 

\[ \Rightarrow AB = \begin{bmatrix}- 2 & - 6 & 12 \\ 4 & 12 & - 24 \\ 5 & 15 & - 30\end{bmatrix}\] 

\[ \Rightarrow \left( AB \right)^T = \begin{bmatrix}- 2 & 4 & 5 \\ - 6 & 12 & 15 \\ 12 & - 24 & - 30\end{bmatrix} . . . \left( 1 \right)\] 

\[ B^T A^T = \begin{bmatrix}1 \\ 3 \\ - 6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}- 2 & 4 & 5\end{bmatrix}\] 

\[ \Rightarrow B^T A^T = \begin{bmatrix}- 2 & 4 & 5 \\ - 6 & 12 & 15 \\ 12 & - 24 & - 30\end{bmatrix} . . . \left( 2 \right)\] 

\[ \therefore \left( AB \right)^T = B^T A^T \left[ \text{From eqs} . (1) and (2) \right]\]