Question

 Let  \[A = \begin{bmatrix}3 & 2 & 7 \\ 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 5 & 8\end{bmatrix} .\] Find matrices X and Y such that X + Y = A, where X is a symmetric and Y is a skew-symmetric matrix

 

Answer 1

\[Given: A = \begin{bmatrix}3 & 2 & 7 \\ 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 5 & 8\end{bmatrix} \] 

\[ \Rightarrow A^T = \begin{bmatrix}3 & 1 & - 2 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 3 & 8\end{bmatrix}\] 

\[\text{Let X} = \frac{1}{2}\left( A + A^T \right) = \frac{1}{2}\left( \begin{bmatrix}3 & 2 & 7 \\ 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 5 & 8\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}3 & 1 & - 2 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 3 & 8\end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix}3 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} \\ \frac{3}{2} & 4 & 4 \\ \frac{5}{2} & 4 & 8\end{bmatrix}\] 

\[\text{Let Y} = \frac{1}{2}\left( A - A^T \right) = \frac{1}{2}\left( \begin{bmatrix}3 & 2 & 7 \\ 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 5 & 8\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}3 & 1 & - 2 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 3 & 8\end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{9}{2} \\ \frac{- 1}{2} & 0 & - 1 \\ \frac{- 9}{2} & 1 & 0\end{bmatrix}\] 

\[ X^T = \begin{bmatrix}3 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} \\ \frac{3}{2} & 4 & 4 \\ \frac{5}{2} & 4 & 8\end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix}3 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} \\ \frac{3}{2} & 4 & 4 \\ \frac{5}{2} & 4 & 8\end{bmatrix}^T = X\] 

\[ Y^T = \begin{bmatrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{9}{2} \\ \frac{- 1}{2} & 0 & - 1 \\ \frac{- 9}{2} & 1 & 0\end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix}0 & \frac{- 1}{2} & \frac{- 9}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & 1 \\ \frac{9}{2} & - 1 & 0\end{bmatrix} = - \begin{bmatrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{9}{2} \\ \frac{- 1}{2} & 0 & - 1 \\ \frac{- 9}{2} & 1 & 0\end{bmatrix} = Y\] 

Thus, X is a symmetric matrix and Y is skew - symmetric matrix .  

\[Now, \] 

\[X + Y = \begin{bmatrix}3 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} \\ \frac{3}{2} & 4 & 4 \\ \frac{5}{2} & 4 & 8\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{9}{2} \\ \frac{- 1}{2} & 0 & - 1 \\ \frac{- 9}{2} & 1 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 & 2 & 7 \\ 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 5 & 8\end{bmatrix} = A\] 

\[ \therefore X = \begin{bmatrix}3 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} \\ \frac{3}{2} & 4 & 4 \\ \frac{5}{2} & 4 & 8\end{bmatrix} \text{and Y} = \begin{bmatrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{9}{2} \\ \frac{- 1}{2} & 0 & - 1 \\ \frac{- 9}{2} & 1 & 0\end{bmatrix}\]