Question

If `sqrt(1 - x^2) + sqrt(1 - y^2) = a(x - y)`, prove that `(dy)/(dx) = sqrt((1 - y^2)/(1 - x^2))`.

Answer 1

Given: `sqrt(1 - x^2) + sqrt(1 - y^2) = a(x - y)`

Put x = sin θ and y = sin Φ.

∴ θ = sin^–1x and Φ = sin^–1y

`sqrt(1 - sin^2theta) + sqrt(1 - sin^2phi)` = a(sin θ – sin Φ)

⇒ `sqrt(cos^2theta) + sqrt(cos^2phi)` = a(sin θ – sin Φ)

⇒ cos θ + cos Φ = a(sin θ – sin Φ)

⇒ `(cos theta + cos phi)/(sin theta - sin phi)` = a

⇒ `(2 cos  (theta  +  phi)/2 * cos  (theta  -  phi)/2)/(2cos  (theta  +  phi)/2 * sin  (theta  -  phi)/2)` = a        ......`[(because cos A + cos B = 2cos  ("A"  +  B)/2 * cos  (A  -  B)/2),(sinA - sinB = 2cos  (A  +  B)/2 * sin  (A  -  "B")/2)]`

⇒ `(cos((theta  -  phi)/2))/(sin((theta  -  phi)/2))` = a

⇒ `cot((theta  -  phi)/2)` = a

⇒ `(theta - phi)/2 = cot^-1a`

⇒ θ – Φ = 2cot^–1a

⇒ sin^–1x – sin^–1y = 2 cot^–1a

Differentiating both sides w.r.t. x

`d/dx (sin^-1x) - d/dx(sin^-1x) = 2*d/dx cot^-1a`

⇒ `1/sqrt(1 - x^2) - 1/sqrt(1 - y^2) * dy/dx` = 0

⇒ `1/sqrt(1 - y^2) * dy/dx = 1/sqrt(1 - x^2)`

∴ `dy/dx = sqrt(1 - y^2)/sqrt(1 - x^2)`.