Question

फलन f: `R - {3/5} -> R - {3/5}`, इस प्रकार परिभाषित है `f(x) = (3x + 2)/(5x - 3)`। दर्शाइए कि f एक एकैकी एवं आच्छादक फलन है।

Answer 1

दिया है:

`f(x) = (3x + 2)/(5x - 3)`

एक-एक:

मान लें f(x₁) = f(x₂),

`(3x_1 + 2)/(5x_2 - 3) = (3x_2 + 2)/(5x_2 - 3)`

क्रॉस-गुणा करने पर:

(3x₁​ + 2)(5x₂ ​− 3) = (3x₂ + 2)(5x₁ − 3)

सरलीकरण करने पर:

x₁​ = x₂

अतः, f एक-एक फलन है।

आच्छादक:

मान लें,

`y = (3x + 2)/(5x - 3)`

y(5x − 3) = 3x + 2

5xy − 3y = 3x + 2

5xy − 3x = 3y + 2

x(5y − 3) = 3y + 2

`x = (3y + 2)/(5y - 3)`

चूँकि `y ≠ 3/5`,इसलिए x ∈ `R - {3/5}` के लिए अस्तित्व में है।

अतः, f आच्छादक है।

इस प्रकार, f एक-एक तथा आच्छादक फलन है।