Question

Find : \[\int\frac{2 \cos x}{\left( 1 - \sin x \right) \left( 1 + \sin^2 x \right)}dx\] .

Answer 1

\[\text { Let }  \sin  x   =   t   \Rightarrow   \cos x  dx   =   dt\] 

\[\int\frac{2dt}{\left( 1 - t \right)\left( 1 + t^2 \right)}\] 

\[\text { Using  partial  fraction }\] 

\[\frac{2}{\left( 1 - t \right)\left( 1 + t^2 \right)}   =   \frac{A}{\left( 1 - t \right)} +   \frac{Bt + C}{\left( 1 + t^2 \right)}\] 

\[\text { On  solving } A   = 1,   B   =   1,   C   =   1\] 

\[\int\frac{2dt}{\left( 1 - t \right)\left( 1 + t^2 \right)}   =   \int\frac{dt}{\left( 1 - t \right)} + \int\frac{\left( 1 + t \right)}{\left( 1 + t^2 \right)}dt\] 

\[ = \int\frac{dt}{\left( 1 - t \right)}   +   \int\frac{dt}{\left( 1 + t^2 \right)} + \int\frac{t  dt}{\left( 1 + t^2 \right)}\] 

\[ =    - \ln  (1 - t)   +    \tan^{- 1} t   +   \frac{1}{2}\ln\left( 1 + t^2 \right)\] 

\[ =   \ln  \frac{\sqrt{1 + t^2}}{1 - t}   +    \tan^{- 1} t   +   C\] 

\[\text { Replacing  the  value  of  t }\] 

\[ = \ln  \frac{\sqrt{1 + \sin^2 x}}{1 - \sin x}   +    \tan^{- 1} (\sin  x)   +   C\]