Question

Evaluate :  ∫ log (1 + x²) dx

Answer 1

Let I = ∫ log (1 + x²) dx

Put x = tan θ

∴ dx = sec² θ  d θ

`therefore "I" = int  "log" (1 + "tan"^2 theta) . "sec"^2 theta   "d" theta` 

`= int  "log"("sec"^2 theta) . "sec"^2 theta  "d" theta`

`= 2 int  "log"  (sec theta) . "sec"^2 theta  "d" theta`

`= 2 ["log" ("sec")  theta . int  "sec"^2 theta  "d" theta - int  ["d"/("d" theta) "log"  ("sec" theta) . int  "sec"^2 theta  "d" theta] "d" theta]`

`= 2 xx ["log"  ("sec"  theta) . "tan"  theta -  int  ("sec"  theta . "tan" theta)/("sec" theta) . "tan"  theta  "d"  theta]`

`= 2  ["log"  ("sec"  theta) . "tan"  theta - int  "tan"^2  "d" theta]`

`= 2 ["tan"  theta . "log" ("sec"  theta) - int ("sec"^2 theta - 1)  "d"  theta]`

`= "tan"  theta . "log" ("sec"^2  theta) - 2  "tan"  theta + 2   theta + "C"`

`= "x" . "log" (1 + "x"^2) - "2x" + 2 "tan"^-1 "x" + "C"`