Question

एक रेषा बिंदू (6, –7, –1) आणि (2, –3, 1) मधून जात असेल तर त्या रेषेचे दिक्‌ कोज्या व दिशा गुणोत्तरे (direction cosines and direction ratios) काढा. हे ही दाखवा की ती रेषा प्रारंभिक बिंदू (मूळ) (origin) मधून जात नाही.

Answer 1

A (6, −7, −1) आणि B (2, −3, 1) या बिंदूंमधून जाणाऱ्या रेषेचे दिक्-गुणोत्तर खालीलप्रमाणे आहेत:

l = 2 − 6 = −4, m = −3 + 7 = 4, n = 1 + 1 = 2

परिमाण = `sqrt((-l)^2 + (m)^2 + (n)^2)`

= `sqrt((-4)^2+4^2+2^2)`

= `sqrt(16+16+4)`

= `sqrt36`

= 6

`cosalpha = (-4)/6 = -2/3, cosbeta = 4/6 = 2/3, cosgamma = 2/6 = 1/3`

A (6, −7, −1) या बिंदूतून जाणाऱ्या आणि (−4, 4, 2) ही दिक्-गुणोत्तरे असणाऱ्या रेषेचे समीकरण खालीलप्रमाणे आहे:

x = 6 − 4λ  ...(1)

y = −7 + 4λ  ...(2)

z = −1 + 2λ  ...(3)

ही रेषा मूळ बिंदूतून (0, 0, 0) जाते की नाही हे तपासण्यासाठी, आपण λ ची किंमत काढूया:

समीकरण 1:

0 = 6 − 4λ

4λ = 6

λ = `6/4`

λ = `3/2`

समीकरण 2:

0 = −7 + 4λ

4λ = 7

λ = `7/4`

समीकरण 3:

0 = −1 + 2λ

2λ = 1

λ = `1/2`

रेषा मूळ बिंदूतून जाण्यासाठी, λ च्या तिन्ही किमती समान असणे आवश्यक आहे. परंतु येथे, आपल्याला खालील किमती मिळाल्या आहेत:

λ = `3/2`, λ = `7/4`, λ = `1/2`

या किमती समान नसल्यामुळे, ही रेषा मूळ बिंदूतून जात नाही.