Question

एक ऑन-लाइन डिलिवरी कम्पनी के एक शहर में 5000 ग्राहक हैं तथा वह प्रत्येक ग्राहक से असीमित मुफ्त डिलिवरी के लिए ₹ 300 प्रतिवर्ष लेती है।

कम्पनी अपना वार्षिक सदस्यता शुल्क बढ़ाना चाहती है। यह अनुमान है कि प्रत्येक ₹ 1 की बढ़ोतरी से 10 सदस्य छोड़ जाएँगे। माना कि कम्पनी ने वार्षिक शुल्क में ₹ x की बढ़ोतरी की।

उपरोक्त सूचनाओं के आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

1. वार्षिक शुल्क में ₹ x की बढ़ोतरी पर कितने सदस्य छोड़ जाएँगे? [1]
2. यदि R(x) वार्षिक शुल्क में ₹ x की बढ़ोतरी के बाद इकट्ठा हुए कुल राजस्व को दर्शाता है, तो R(x) को x के फलन के रूप में व्यक्त कीजिए। [1]
3. 1. x का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए R(x) अधिकतम हो। [2]
      अथवा
   2. वह उपअन्तराल ज्ञात कीजिए जहाँ (0, 5000) में R(x) वर्धमान अथवा हासमान है। [2]

Answer 1

(i)

प्रत्येक ₹ 1 की वृद्धि पर 10 ग्राहक सदस्यता छोड़ देते हैं।

अतः ₹ x की वृद्धि पर:

10x ग्राहक सदस्यता छोड़ देंगे।

(ii)

नई सदस्यता शुल्क = 300 + x

शेष ग्राहक 5000 − 10x

अतः कुल राजस्व होगा:

R(x) = (300 + x)(5000 − 10x)

= 300(5000 − 10x) + x(5000 − 10x)

= 1500000 − 3000x + 5000x − 10x²

= 1500000 + 2000x − 10x²

अतः,

R(x) = −10x² + 2000x + 1500000

(iii) (a)

R(x) = −10x² + 2000x + 1500000

⇒ अवकलन करने पर:

R′(x) = −20x + 2000

⇒ अधिकतम के लिए:

R′(x) = 0

−20x + 2000 = 0

∴ x = 100

अतः, वार्षिक शुल्क में ₹ 100 की वृद्धि करने पर राजस्व अधिकतम होगा।

अथवा

(iii) (b)

R′(x) = −20x + 2000

⇒ वृद्धि के लिए:

R′(x) > 0

−20x + 2000 > 0

x < 100

⇒ ह्रास के लिए:

R′(x) < 0

x > 100

⇒ अतः (0, 5000) में:

R(x), (0, 100) पर बढ़ता है और (100, 5000) पर घटता है।