Question

Discuss the continuity of f at x = 1
Where f(X) = `[ 3 - sqrt ( 2x + 7 ) / ( x - 1 )]`           For x ≠ 1
                    = `-1/3`                                                 For x = 1

Answer 1

Given f(1) = `-1/3`                    (i)
Now   `lim_( x -> 1 ) = lim_( x -> 1 )   ([ 3 - sqrt (2x + 7) ]/[ x - 1 ])`

                                 = `lim_( x -> 1 ) [ 3 - sqrt( 2x + 7 )]/[ x - 1 ]  xx [ 3 + sqrt( 2x + 7 ) ]/[ 3 + sqrt( 2x + 7 )]`

                                = `lim_( x -> 1) [ 9 - (2x + 7) ]/[( x - 1)( 3 + sqrt( 2x + 7 ))]`

                                = `lim_( x -> 1) [ 2 - 2x ]/[( x - 1)( 3 + sqrt( 2x + 7)]`

                                = `lim_( x -> 1) [ -2( x - 1 )]/[( x - 1)( 3 + sqrt( 2x + 7)]`

                                = `lim_( x -> 1) [ -2]/[3 + sqrt( 2x + 7]`

                                = `[ - 2 ]/[ 3 + sqrt 9]  = -2/6 = -1/3`

`therefore lim_( x -> 1) f(x) = -1/3`                     (ii)
From (i) and (ii), `lim_( x -> 1) f(x) = f(1)`
∴ f is continuous at x = 1.