Question

दी गई आकृति में, केंद्र 0 वाले एक वृत्त के अन्दर 14 cm विकर्ण वाला एक आयत ABCD बना है। यदि छायांकित भाग का क्षेत्रफल a + b `sqrt3` के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो a और b के मान ज्ञात कीजिए। साथ ही त्रिज्यखंड OABO की परिधि भी ज्ञात कीजिए।

Answer 1

विकर्ण AC = DB = 14 सेमी

⇒ वृत्त का व्यास = 14 सेमी

⇒ त्रिज्या = 7 सेमी

चाप CB द्वारा बने लघु खंड का क्षेत्रफल

= लघु क्षेत्र OCB का क्षेत्रफल − △OCB का क्षेत्रफल

= `(60°)/(360°) xx 22/7 xx 7^2 − sqrt3/4 xx 7 xx 7`  ...(∵ △OCB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा 7 सेमी है)

= `7^2 × (1/6 × 22/7 − sqrt3/4)`
= 49 × `(11/21 − sqrt3/4)`

इसी प्रकार, आर्क AD द्वारा निर्मित लघु खंड का क्षेत्रफल = `49 (pi/21 - sqrt3/4)`

दोनों को जोड़ने पर हमें छायांकित क्षेत्र प्राप्त होता है।

अतः, छायांकित क्षेत्रफल `2 xx 49 (pi/21 - sqrt3/4) = a + b sqrt3`

= `1078/21 - 98/4sqrt3 = a + bsqrt3`

अतः, `a = 1078/21  "और"  b = (-98)/4`

∵ सेक्टर OABO का केंद्रीय कोण = 180° − 60° = 120°

∵ सेक्टर OABO की परिमिति = चाप AB की लंबाई + OA + OB

= `120/360 xx 22/7 xx 2 xx 7 + 7 +7`

= `4/3 + 14`

= `(44 + 42)/3`

= `86/3` सेमी