Question

\[\int \cos^7 x \text{ dx  } \]

Answer 1

∫​ cos⁷ x dx
= ​∫ cos⁶ x . cos x dx
= ∫ (cos² x)³ cos x dx

= ∫ (1 – sin² x)³ . cos x dx
Let sin x = t
⇒ cos x dx = dt

Now, ∫ (1 – sin² x)³.cos x dx
= ∫ (1 – t²)³ dt
= ∫ (1 – t⁶ – 3t² + 3t⁴) dt

\[= \left[ t - \frac{t^7}{7} - \frac{3 t^3}{3} + \frac{3 t^5}{5} \right] + C\]
\[ = \sin x - \frac{1}{7} \sin^7 x - \sin^3 x + \frac{3}{5} \sin^5 x + C\]