Question

12 cm भुजा वाला वर्गाकार लूप जिसकी भुजाएँ X एवं Y अक्षों के समान्तर हैं, x-दिशा में 8 cm s^-1 की गति से चलाया जाता है। लूप तथा उसकी गति का परिवेश धनात्मक दिशा के चुम्बकीय-क्षेत्र का है। चुम्बकीय-क्षेत्र न तो एकसमान है और न ही समय के साथ नियत है। इस क्षेत्र की ऋणात्मक दिशा में प्रवणता 10^-3 Tcm^-1 है। (अर्थात् ऋणात्मक x-अक्ष की दिशा में इकाई सेंटीमीटर दूरी पर क्षेत्र के मान में 10^-3 Tcm^-1 की वृद्धि होती है) तथा क्षेत्र के मान में 10^-3 Ts^-1 की दर से कमी भी हो रही है। यदि कुंडली का प्रतिरोध 4.50 mΩ हो तो प्रेरित धारा का परिमाण एवं दिशा ज्ञात कीजिए।

Answer 1

लूप का प्रतिरोध R = 4.50 × 10^-3 Ω, लूप की भुजा a = 12 cm

`(∂"B")/(∂x) = - 10^-3 " T cm"^-1 = - 10^-1 " Tm"^-1`

= - 0.1 Tm^-1    [x-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में]

तथा `(∂x)/(∂"t") = 8 " cm s"^-1 = 0.08 " m s"^-1`

तथा `(∂"B")/(∂"t") = - 10 ^-3 "Ts"^-1`

`(∂"B")/(∂x)` तथा `(∂"B")/(∂"t")` दोनों का चिन्ह ऋणात्मक लिया गया है क्योंकि x तथा t दोनों के बढ़ने के साथ चुम्बकीय क्षेत्र घट रहा है।

माना लूप की भुजा की लम्बाई 'a' है। x दूरी पर स्थित dx चौड़ाई की एक पट्टी पर विचार कीजिए। 

माना इस पट्टी पर चुम्बकीय क्षेत्र B (x, t) है तथा इस पट्टी का क्षेत्रफल dA = a dx है।

∴ इस पट्टी से बद्ध चुम्बकीय फ्लक्स

dΦ = BdA = B(x, t)a dx

∴ लूप से बद्ध कुल फ्लक्स

`phi = int_(x = 0)^a  "B" (x, "t")  a " dx" = a int_(x = 0)^a  "B" (x, "t") " dx"`

∴ `("d"phi)/"dt" = a  "d"/"dx" int_(x = 0)^a  "B" (x, "t") " dx"`

`= a int_(x = 0)^a ∂/(∂"t") [B (x, "t")]`dx

`= a int_(x = 0)^a [(∂"B")/(∂"t") + (∂"B")/(∂x) * (∂x)/(∂"t")] "dx"        [because (∂"B")/(∂"t") + (∂"B")/(∂x) * (∂x)/(∂"t")]`

`= a int_(x = 0)^a [- 10^-3 - 0.1 xx 0.08]`dx

`= - a (0.001 + 0.008) int_(x = 0)^a`dx

= - (0.009)a × (a - 0) = - 0.009 × a² 

= - 0.009 × 144 × 10^-4

∴ प्रेरित विद्युत वाहक बल e = - `("d"phi)/"dt" = 0.009 xx 144 xx 10^-4 = 1.296 xx 10^-4 "V"`

∴ प्रेरित धारा i = `"e"/"r" = (1.296 xx 10^-4)/(4.50 xx 10^-3) = 2.88 xx 10^-2`A

धारा की दिशा ऐसी होगी जो z-दिशा में चुम्बकीय फ्लक्स के घटने का विरोध करेगी। इसके लिए धारा वामावर्त दिशा में प्रवाहित होगी।