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प्रश्न
यदि एक वृत्त की दो बराबर जीवाएँ परस्पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के दो भाग दूसरी जीवा के दोनों भागों के पृथक-पृथक बराबर होते हैं।
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उत्तर
दिया गया है - विचार करें कि AB और CD एक वृत्त की दो बराबर जीवाएँ हैं, जो बिंदु E पर मिलती हैं।
सिद्ध करना है - AE = CE और BE = DE
रचना - OM ⊥ AB और ON ⊥ CD खींचिए और OE को मिलाइए जहाँ O वृत्त का केंद्र है।
प्रमाण - ΔOME और ΔONE में,
OM = ON ...[समान जीवाएं केंद्र से समदूरस्थ होती हैं।]
OE = OE ...[सामान्य पक्ष]
और ∠OME = ∠ONE ...[प्रत्येक 90°]
∴ ΔOME ≅ ΔONE ...[RHS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
⇒ EM = EN [CPCT द्वारा] ...(i)
अब, AB = CD
दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर, हम पाते हैं।
`(AB)/2 = (CD)/2` ⇒ AM = CN ...(ii) [चूँकि, वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, AM = MB और CN = ND]
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
EM + AM = EN + CN
⇒ AE = CE ...(iii)
अब, AB = CD
दोनों पक्षों को AE से घटाने पर, हम पाते हैं।
AB – AE = CD – AE
⇒ BE = CD – CE ...[समीकरण (iii) से]
⇒ BE = DE
अतः सिद्ध हुआ।
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