Question

उन न्यूनकोणों की अधिकतम संख्या ज्ञात कीजिए जो एक उत्तल चतुर्भुज, उत्तल पंचभुज और उत्तल षड्भुज में हो सकते हैं। इस पैटर्न को देखिए और इस परिणाम को एक बहुभुज के लिए व्यापीकृत कीजिए।

Answer 1

यदि कोई कोण तीव्र है, तो संगत बाह्य कोण 90° से अधिक होता है। अब, मान लीजिए कि एक उत्तल बहुभुज में चार या अधिक न्यून कोण हैं। चूंकि, बहुभुज उत्तल है, सभी बाहरी कोण सकारात्मक हैं, इसलिए बाहरी कोणों का योग कम से कम आंतरिक कोणों का योग है। अब, चार तीव्र कोणों का पूरक, जो 4 × 90° से बड़ा है = 360°

हालाँकि, यह असंभव है। चूंकि, बहुभुज के बाहरी कोणों का योग 360° के बराबर होना चाहिए और इससे अधिक नहीं हो सकता। इससे पता चलता है कि एक उत्तल बहुभुज में न्यून कोणों की अधिकतम संख्या 3 होती है।