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प्रश्न
प्रदत्त फलन के लिए `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:
xy + yx = 1
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उत्तर
xy + yx = 1 ....(i)
(i) को x के सापेक्ष अवकलित करने पर हम पाते हैं
`d/dx (x^y) + d/dx (y^x)` = 0 ...(ii)
मान लीजिए, u = xy
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर,
log u = y log x ....(iii)
दोनों पक्षों का x के साक्षेप अवकलन करने पर,
`1/u (du)/dx = d/dx y log x`
= `y d/dx log x +log x d/dx (y)`
= `y * 1/x + log x * dy/dx`
= `y/x + log x dy/dx`
`therefore (du)/dx = u [y/x + log x dy/dx]`
= `x^y [y/x + log x dy/dx]` ...(iv)
मान लीजिए, v = yx
⇒ log v = x log y ... (v)
दोनों पक्षों का x के साक्षेप अवकलन करने पर,
`1/v (dv)/dx = d/dx x log y`
= `log y d/dx (x) + x d/dx (log y)`
= `log y xx 1 + x xx 1/y dy/dx`
= `log y + x/y dy/dx`
`therefore (dv)/dx = v[log y + x/y dy/dx]`
= `y^x [log y + x/y dy/dx]` .....(vi)
(iv) और (vi) के मानों को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है
`x^y [y/x + log x dy/dx] + y^x [log y + x/y dy/dx] = 0`
`(x^y log x + xy^(x - 1)) dy/dx = - (y^x log y + yx^(y - 1))`
`dy/dx = -(y^x log y + yx^(y - 1))/(x^y log x + xy^(x - 1))`
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प्रदत्त फलन के लिए `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:
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प्रदत्त फलन के लिए `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:
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यदि u, v और w, x के फलन हैं तो दो विधियों अर्थात् प्रथम-गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय-लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि `d/dx(u.v.w) = (du)/dx v.w + u. (dv)/dx.w + u.v. (dw)/dx`।
x तथा y दिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में संबंधित हों, तो प्राचलों का विलोपन किए बिना, `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:
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