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प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
`(sin x)^x + sin^-1 sqrtx`
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उत्तर
मान लीजिए, y = `(sin x)^x + sin^-1 sqrtx`
फिर, मान लीजिए y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dy/dx = (du)/dx + (dv)/dx` ...(1)
∴ u = (sin x)x
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर,
log u = log (sin x)x
log u = x log sin x
दोनों पक्षों का x के साक्षेप अवकलन करने पर,
`1/u (du)/dx = x d/dx log sin x + log sin x d/dx (x)`
= `x 1/(sin x) d/dx (sin x) + log sin x xx 1`
= `x * 1/(sin x) * cos x + log sin x xx 1`
= x cot x + log sin x
`therefore (du)/dx` = u (x cot x + log sin x)
= (sin x)x [x cot x + log sin x] ...(2)
इसके अलावा, v = `sin^-1 sqrt x`
दोनों पक्षों का x के साक्षेप अवकलन करने पर,
`(dv)/dx = d/dx sin^-1 sqrtx`
= `1/sqrt(1 - x) d/dx x^(1/2)`
= `1/sqrt(1 - x) 1/2 x^(-1/2)`
= `1/(2sqrtx sqrt(1 - x))` ...(3)
समीकरण (2) तथा (3) से `(du)/dx` तथा `(dv)/dx` का मान समीकरण (1) में रखने पर,
`(dy)/dx = (sin x)^x [x cot x + log sin x] + 1/(2sqrtx sqrt(1 - x))`
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x तथा y दिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में संबंधित हों, तो प्राचलों का विलोपन किए बिना, `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:
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