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प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
`(x + 1/x)^x + x^((1 + 1/x))`
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उत्तर
मान लीजिए, y = `(x + 1/x)^x + x^((1 + 1/x))`
जहाँ u = `(x + 1/x)^x` और v = `x ^((1+1/x))`
दोनों ओर का x के साक्षेप अवकलन करने पर,
`dy/dx = (du)/dx + (dv)/dx` .....(i)
अब, u = `(x + 1/x)^x`
दोनों ओर का log लेने पर,
= `logu = x log (x + 1/x)` ......(ii)
(ii) का x के संबंध में अवकलन करने पर, हम पाते हैं
`1/u (du)/dx = x d/dx log (x + 1/x) + log (x + 1/x)(1)`
= `x/(x + 1/x) (1 - 1/x^2) + log (x + 1/x)`
⇒ `(du)/dx = (x + 1/x)^x [x/(x + 1/x)(1 - 1/x^2) + log (x + 1/x)]` ....(iii)
साथ ही, v = `x^((1 + 1/x))`
दोनों ओर का log लेने पर,
log v = `(1 + 1/x) log x` ....(iv)
(iv) का x के संबंध में अवकलन करने पर, हम पाते हैं
`1/v (dv)/dx = (1 + 1/x)d/dx log x + log x d/dx (1 + 1/x)`
= `(1 + 1/x) 1/x + log x (-1/x^2)`
`(dv)/dx = x^((1+1/x)) [(1 + 1/x) 1/x + log x (-1/x^2)]` ....(v)
(iii) और (v) के मान को (i) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
`dy/dx = (x + 1/x)^x [x/(x + 1/x) (1 - 1/x^2) + log (x + 1/x)] + x^((1 + 1/x)) [(1 + 1/x) 1/x + log x (-1/x^2)]`
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