Advertisements
Advertisements
प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
`(x + 1/x)^x + x^((1 + 1/x))`
Advertisements
उत्तर
मान लीजिए, y = `(x + 1/x)^x + x^((1 + 1/x))`
जहाँ u = `(x + 1/x)^x` और v = `x ^((1+1/x))`
दोनों ओर का x के साक्षेप अवकलन करने पर,
`dy/dx = (du)/dx + (dv)/dx` .....(i)
अब, u = `(x + 1/x)^x`
दोनों ओर का log लेने पर,
= `logu = x log (x + 1/x)` ......(ii)
(ii) का x के संबंध में अवकलन करने पर, हम पाते हैं
`1/u (du)/dx = x d/dx log (x + 1/x) + log (x + 1/x)(1)`
= `x/(x + 1/x) (1 - 1/x^2) + log (x + 1/x)`
⇒ `(du)/dx = (x + 1/x)^x [x/(x + 1/x)(1 - 1/x^2) + log (x + 1/x)]` ....(iii)
साथ ही, v = `x^((1 + 1/x))`
दोनों ओर का log लेने पर,
log v = `(1 + 1/x) log x` ....(iv)
(iv) का x के संबंध में अवकलन करने पर, हम पाते हैं
`1/v (dv)/dx = (1 + 1/x)d/dx log x + log x d/dx (1 + 1/x)`
= `(1 + 1/x) 1/x + log x (-1/x^2)`
`(dv)/dx = x^((1+1/x)) [(1 + 1/x) 1/x + log x (-1/x^2)]` ....(v)
(iii) और (v) के मान को (i) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
`dy/dx = (x + 1/x)^x [x/(x + 1/x) (1 - 1/x^2) + log (x + 1/x)] + x^((1 + 1/x)) [(1 + 1/x) 1/x + log x (-1/x^2)]`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
cos x . cos 2x . cos 3x
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
`sqrt(((x-1)(x-2))/((x-3)(x-4)(x-5)))`
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
xx − 2sin x
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
(x + 3)2 · (x + 4)3 · (x + 5)4
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
(log x)x + xlog x
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
`(sin x)^x + sin^-1 sqrtx`
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
xsin x + (sin x)cos x
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
`x^(x cos x) + (x^2 + 1)/(x^2 - 1)`
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
`(x cos x)^x + (x sin x)^(1/x)`
प्रदत्त फलन के लिए `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:
xy + yx = 1
प्रदत्त फलन के लिए `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:
yx = xy
प्रदत्त फलन के लिए `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:
(cos x)y = (cos y)x
प्रदत्त फलन के लिए `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:
xy = `e^(x - y)`
f(x) = (1 + x) (1 + x2) (1 + x4) (1 + x8) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार f'(1) ज्ञात कीजिए।
(x2 – 5x + 8) (x3 + 7x + 9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए:
- गुणनफल नियम का प्रयोग करके।
- गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके।
- लघुगणकीय अवकलन द्वारा।
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।
यदि u, v और w, x के फलन हैं तो दो विधियों अर्थात् प्रथम-गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय-लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि `d/dx(u.v.w) = (du)/dx v.w + u. (dv)/dx.w + u.v. (dw)/dx`।
