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प्रश्न
मान लीजिए A = {1, 2, 3, ... 9} तथा A ×A में (a, b)] (c, d) के लिए (a, b) R (c, d) यदि और केवल यदि a + d = b + c द्वारा परिभाषित R एक संबंध हैं। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है तथा तुल्यता-वर्ग [(2, 5)] भी प्राप्त (ज्ञात) कीजिए।
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उत्तर
दिया गया है, A = {1, 2, 3, … 9} और (a, b) R(c, d) यदि a + d = b + c (a, b), (c, d) ∈ A ×A के लिए
चलो (a, b) R(a, b)
अत: a + b = b + a, ∀ a, b ∈ A जो किसी a, b ∈ A के लिए सत्य है।
इस प्रकार, R स्वतुल्य है।
चलो (a, b) R(c, d)
फिर,
a + d = b + c
c + b = d + a
(c, d) R(a, b)
अत: R सममित है।
चलो (a, b) R(c, d) and (c, d) R(e, f)
a + d = b + c और c + f = d + e
a + d = b + c और d + e = c + f
(a + d) – (d + e = (b + c) – (c + f)
a – e = b – f
a + f = b + e
(a, b) R(e, f)
अत: R संक्रामक है।
इसलिए, R एक तुल्यता संबंध है।
और, [(2, 5) = (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8), (6, 9)] संबंध R के अंतर्गत समतुल्य वर्ग है।
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