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प्रश्न
दर्शाइए कि बिन्दुओं A(0, 3), B(−2, 0), C(0, – 5) और D(2, 0) को इसी क्रम में लेने पर यह चतुर्भुज ABCD एक पतंग (kite) के शीर्ष हैं। इस पतंग ABCD के प्रत्येक विकर्ण की लम्बाई भी ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
1. भुजाओं की लंबाई की गणना करें:
शीर्षों A(0, 3), B(–2, 0), C(0, –5) और D(2, 0) के लिए दूरी सूत्र `d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2` का उपयोग करते हुए:
भुजा AB: `sqrt((-2 - 0)^2 + (0 - 3)^2`
= `sqrt(4 + 9)`
= `sqrt(13)`
भुजा AD: `sqrt((2 - 0)^2 + (0 - 3)^2`
= `sqrt(4 + 9)`
= `sqrt(13)`
भुजा BC: `sqrt((0 - (-2))^2 + (-5 - 0)^2`
= `sqrt(4 + 25)`
= `sqrt(29)`
भुजा CD: `sqrt((2 - 0)^2 + (0 - (-5))^2`
= `sqrt(4 + 25)`
= `sqrt(29)`
चूँकि AB = AD और BC = CD हैं, इसलिए इस चतुर्भुज में बराबर आसन्न भुजाओं के दो जोड़े हैं, जो कि पतंग (kite) की परिभाषा है।
2. विकर्णों की लंबाई ज्ञात कीजिए:
विकर्ण वे रेखाखंड हैं जो विपरीत शीर्षों को जोड़ते हैं: AC और BD
विकर्ण AC: (0, 3) और (0, –5) के बीच की दूरी `sqrt((0 - 0)^2 + (-5 - 3)^2` है।
= `sqrt(64)`
= 8 इकाई
विकर्ण BD: (–2, 0) और (2, 0) के बीच की दूरी `sqrt((2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2` है।
= `sqrt(16)`
= 4 इकाई
चतुर्भुज ABCD एक पतंग (kite) है, क्योंकि इसकी दो आसन्न भुजाओं के जोड़े बराबर हैं (AB = AD = `sqrt(13)` और BC = CD = `sqrt(29)`)। विकर्ण AC की लंबाई 8 इकाई है और विकर्ण BD की लंबाई 4 इकाई है।
