Question

A(6, 1), B(8, 2) और C(9, 4) एक समांतर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्ष हैं। यदि E भुजा DC का मध्य-बिंदु है, तो ΔADE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।  

Answer 1

प्रश्न के अनुसार,

एक समांतर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्ष A(6, 1), B(8, 2) और C(9, 4) हैं।

माना समांतर चतुर्भुज का चौथा शीर्ष = (x, y),

हम जानते हैं,  कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

चूँकि, बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु इस प्रकार दिया जाता है,

`((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)`

BD का मध्य-बिंदु = AC का मध्य-बिंदु

`((8 + x)/2, (2 + y)/2) = ((6 + 9)/2, (1 + 4)/2)`

`((8 + x)/2, (2 + y)/2) = (15/2, 5/2)`

तो, हमारे पास है, 

`(8 + x)/2 = 15/2`

⇒ 8 + x = 15

⇒ x = 7

और

`(2 + y)/2 = 5/2`

⇒ 2 + y = 5

⇒ y = 3

तो, समांतर चतुर्भुज का चौथा शीर्ष D(7, 3) है।

अब,

पार्श्व का मध्य-बिंदु

DC = `((7 + 9)/2, (3 + 4)/2)`

E = `(8, 7/2)`

∵ शीर्षों (x₁, y₁), (x₂, y₂) और (x₃, y₃) के साथ ΔABC का क्षेत्रफल;

= `1/2`[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]

∴ ΔADE का क्षेत्रफल शीर्ष A(6, 1), D(7, 3) और `"E"(8, 7/2)` के साथ, 

Δ = `1/2[6(3 - 7/2) + 7(7/2 - 1) + 8(1 - 3)]`

= `1/2[6 xx ((-1)/2) + 7(5/2) + 8(-2)]`

= `1/2(35/2 - 19)`

= `1/2((-3)/2)`

= `(-3)/4` लेकिन क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता।

अतः, ΔADE का आवश्यक क्षेत्रफल `3/4` वर्ग इकाई है।