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प्रश्न
A(6, 1), B(8, 2) और C(9, 4) एक समांतर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्ष हैं। यदि E भुजा DC का मध्य-बिंदु है, तो ΔADE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
प्रश्न के अनुसार,
एक समांतर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्ष A(6, 1), B(8, 2) और C(9, 4) हैं।
माना समांतर चतुर्भुज का चौथा शीर्ष = (x, y),
हम जानते हैं, कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
चूँकि, बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु इस प्रकार दिया जाता है,
`((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)`
BD का मध्य-बिंदु = AC का मध्य-बिंदु
`((8 + x)/2, (2 + y)/2) = ((6 + 9)/2, (1 + 4)/2)`
`((8 + x)/2, (2 + y)/2) = (15/2, 5/2)`
तो, हमारे पास है,
`(8 + x)/2 = 15/2`
⇒ 8 + x = 15
⇒ x = 7
और
`(2 + y)/2 = 5/2`
⇒ 2 + y = 5
⇒ y = 3
तो, समांतर चतुर्भुज का चौथा शीर्ष D(7, 3) है।
अब,
पार्श्व का मध्य-बिंदु
DC = `((7 + 9)/2, (3 + 4)/2)`
E = `(8, 7/2)`
∵ शीर्षों (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) के साथ ΔABC का क्षेत्रफल;
= `1/2`[x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)]
∴ ΔADE का क्षेत्रफल शीर्ष A(6, 1), D(7, 3) और `"E"(8, 7/2)` के साथ,
Δ = `1/2[6(3 - 7/2) + 7(7/2 - 1) + 8(1 - 3)]`
= `1/2[6 xx ((-1)/2) + 7(5/2) + 8(-2)]`
= `1/2(35/2 - 19)`
= `1/2((-3)/2)`
= `(-3)/4` लेकिन क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता।
अतः, ΔADE का आवश्यक क्षेत्रफल `3/4` वर्ग इकाई है।
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