Question

4 किग्रा प्याज, 3 किग्रा गेहूँ और 2 किग्रा चावल मूल्य Rs. 60 है। 2 किग्रा प्याज, 4 किग्रा गेहूँ और 6 किग्रा चावल का मूल्य Rs. 90 है। 6 किग्रा प्याज, 2 किग्रा गेहूँ और 3 किग्रा चावल का मूल्य Rs. 70 है। आव्यूह द्वारा प्रत्येक का मूल्य प्रति किग्रा ज्ञात कीजिए।

Answer 1

मान लीजिए प्याज का मूल्य Rs. प्रतिकिग्रा = x

गेहूँ का मूल्य Rs. प्रतिकिग्रा = y

चावल को मूल्य Rs. प्रतिकिग्रा = z

तब दिए गए प्रतिबंधों के अनुसार,

4x + 3y + 2z = 60;
2x + 4y + 6z = 90;
6x + 2y + 3z = 70

इस समीकरण निकाय को AX = B के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है।

`[(4,3,2),(2,4,6),(6,2,3)] [(x),(y),(z)] = [(60),(90),(70)]`

A = `[(4,3,2),(2,4,6),(6,2,3)]`, X = `[(x),(y),(z)]`, B = `[(60),(90),(70)]`

|A| = `|(4,3,2),(2,4,6),(6,2,3)|`

= 4(12 − 12) − 3(2 × 3 − 6 × 6) + 2(2 × 2 − 6 × 4)

= 0 + 90 − 40

= 50 ≠ 0

∴ A⁻¹ ज्ञात किया जा सकता है,

|A| के अवयवों के सहगुणखंड:

A₁₁ = 0, A₁₂ = 30, A₁₃ = −20

A₂₁ = −5, A₂₂ = 0, A₂₃ = 10

A₃₁ = 10, A₃₂ = −20, A₃₃ = 10

∴ adj A = `[(0,30,-20),(-5,0,10),(10,-20,10)] = [(0,-5,10),(30,0,-20),(-20,10,10)]`

A⁻¹ = `1/|A|` adj A

= `1/50 [(0,-5,10),(30,0,-20),(-20,10,10)]`

AX = B

⇒ X = A⁻¹B

∴ `[(x),(y),(z)] = 1/50 [(0,-5,10),(30,0,-20),(-20,10,10)] [(60),(90),(70)]`

= `1/50 [(0 - 450 + 700),(1800 + 0 - 1400),(-1200 + 900 + 700)]`

= `1/50 [(250),(400),(400)]`

= `[(5),(8),(8)]`

⇒ x = 5, y = 8, z = 8

अत: 1 किग्रा प्याज़ का मूल्य = Rs. 5

1 किग्रा गेहूँ का मूल्य =  Rs. 8

1 किग्रा चावल का मूल्य =  Rs. 8