Question

यदि n प्रेक्षणों x₁, x₂, ......,x_n का माध्य `overline "x"` तथा प्रसरण σ² हैं तो सिद्ध कीजिए कि प्रेक्षणों ax₁, ax₂, ax₃, ….,ax_n, का माध्य और प्रसरण क्रमशः `"a"overline "x"` तथा a²σ² (a ≠ 0) हैं।

Answer 1

यहाँ `barx` = `(x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n)/n = (sumx)/n`

साथ ही, `(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ... + x_n^2)/n = (sumx^2)/n`

नया माध्य = `(ax_1 + ax_2 + ax_3 + ... + ax_n)/n`

= `a((x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n))/n = abarx`

साथ ही,

σ² = `(n(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) - (x_1 + x_2 + ... + x_n)^2)/n^2`

∴ नया प्रसरण

`(n(a^2x_1^2 + a^2x_2^2 + a^2x_3^2 + ... + a^2x_n^2) - (ax_1 + ax_2 + ax_3 + ... + ax_n)^2)/n^2`

= `a^2 [[n(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ... + x_n^2) - (x_1 + x_2 + + x_3  ... + x_n)^2)/n^2]`

= a²σ²

अतः सिद्ध हुआ।