Question

यदि α और β समीकरण a tan θ + b sec θ = c के मूल हैं, तो सिद्ध कीजिए कि tan (α + β) = `(2ac)/(a^2 - c^2)` है।

Answer 1

हमें दिया है: a tanθ + bsecθ = c या asinθ + b = c cos θ

सर्वसमिकाओं,

sin θ = `(2tan  theta/2)/(1 + tan^2  theta/2)` और cos θ = `(1 - tan^2  theta/2)/(1 + tan^2  theta/2)` का प्रयोग करने पर,

`(a(2tan  theta/2))/(1 + tan^2  theta/2) + b = (c(1 - tan^2  theta/2))/(1 + tan^2  theta/2)`

या `(b + c) tan^2  theta/2 + 2a tan  theta/2 + b - c` = 0

उपरोक्त समीकरण `tan  theta/2` में एक द्विघात समीकरण है और इसलिए `tan  alpha/2` और `tan  beta/2` इस समीकरण के मूल हैं। 

इसलिए, `tan  alpha/2 + tan  beta/2 = (-2a)/(b + c)` और `tan  alpha/2  tan  beta/2 = (b - c)/(b + c)` है।

सर्वसमिका `tan(alpha/2 + beta/2) = (tan  alpha/2 + tan  beta/2)/(1 - tan  alpha/2 tan   beta/2)` का प्रयोग करने पर,

हमें प्राप्त होता है: `tan(alpha/2 + beta/2) = ((-2a)/(b + c))/(1 - (b - c)/(b + c))`

= `(-2a)/(2c) = (-a)/c`  .....(1)

पुनः, एक अन्य सर्वसमिका

`tan 2 (alpha + beta)/2 = (2tan  (alpha + beta)/2)/(1 - tan^2  (alpha + beta)/2)` के प्रयोग से,

हमें प्राप्त होता है: tan (α + β) = `(2(- a/c))/(1 - a^2/c^2)`

= `(2ac)/(a^2 - c^2)`  ......[(1) से]

वैकल्पिक रूप से, a tanθ + b secθ = c

⇒ (a tanθ – c)² = b² (1 + tan²θ)

⇒ a² tan²θ – 2ac tanθ + c² = b² + b² tan²θ

⇒ (a² – b²) tan²θ – 2ac tanθ + c² – b² = 0  ......(1)

क्योंकि tanα और tanβ समीकरण (1) के मूल हैं,

इसलिए tanα + tanβ = `(2ac)/(a^2 - b^2)`

और tanα tanβ = `(c^2 - b^2)/(a^2 - b^2)`

अतः,  tan (α + β) = `(tan  alpha + tan beta)/(1 - tan alpha tan beta)`

= `((2ac)/(a^2 - b^2))/((c^2 - b^2)/(a^2 - b^2))`

= `(2ac)/(a^2 - c^2)`