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प्रश्न
यदि α और β समीकरण a tan θ + b sec θ = c के मूल हैं, तो सिद्ध कीजिए कि tan (α + β) = `(2ac)/(a^2 - c^2)` है।
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उत्तर
हमें दिया है: a tanθ + bsecθ = c या asinθ + b = c cos θ
सर्वसमिकाओं,
sin θ = `(2tan theta/2)/(1 + tan^2 theta/2)` और cos θ = `(1 - tan^2 theta/2)/(1 + tan^2 theta/2)` का प्रयोग करने पर,
`(a(2tan theta/2))/(1 + tan^2 theta/2) + b = (c(1 - tan^2 theta/2))/(1 + tan^2 theta/2)`
या `(b + c) tan^2 theta/2 + 2a tan theta/2 + b - c` = 0
उपरोक्त समीकरण `tan theta/2` में एक द्विघात समीकरण है और इसलिए `tan alpha/2` और `tan beta/2` इस समीकरण के मूल हैं।
इसलिए, `tan alpha/2 + tan beta/2 = (-2a)/(b + c)` और `tan alpha/2 tan beta/2 = (b - c)/(b + c)` है।
सर्वसमिका `tan(alpha/2 + beta/2) = (tan alpha/2 + tan beta/2)/(1 - tan alpha/2 tan beta/2)` का प्रयोग करने पर,
हमें प्राप्त होता है: `tan(alpha/2 + beta/2) = ((-2a)/(b + c))/(1 - (b - c)/(b + c))`
= `(-2a)/(2c) = (-a)/c` .....(1)
पुनः, एक अन्य सर्वसमिका
`tan 2 (alpha + beta)/2 = (2tan (alpha + beta)/2)/(1 - tan^2 (alpha + beta)/2)` के प्रयोग से,
हमें प्राप्त होता है: tan (α + β) = `(2(- a/c))/(1 - a^2/c^2)`
= `(2ac)/(a^2 - c^2)` ......[(1) से]
वैकल्पिक रूप से, a tanθ + b secθ = c
⇒ (a tanθ – c)2 = b2 (1 + tan2θ)
⇒ a2 tan2θ – 2ac tanθ + c2 = b2 + b2 tan2θ
⇒ (a2 – b2) tan2θ – 2ac tanθ + c2 – b2 = 0 ......(1)
क्योंकि tanα और tanβ समीकरण (1) के मूल हैं,
इसलिए tanα + tanβ = `(2ac)/(a^2 - b^2)`
और tanα tanβ = `(c^2 - b^2)/(a^2 - b^2)`
अतः, tan (α + β) = `(tan alpha + tan beta)/(1 - tan alpha tan beta)`
= `((2ac)/(a^2 - b^2))/((c^2 - b^2)/(a^2 - b^2))`
= `(2ac)/(a^2 - c^2)`
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